[논문 리뷰] L^2-invariants of locally symmetric spaces

Martin Olbrich|ArXiv.org|2000. 09. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩act 유형의 국소 대칭 공간 $Y = \Gamma \backslash X$ 에서의 $L^2$-불변량—베티 수, 노빅로프-슐빈 불변량, $L^2$-터전—을 하리쉬-찬드라의 플랑커렐 정리와 $({\mathfrak{g}},K)$-코homology 를 이용해 계산한다. 핵심 결과는 $L^2$-터전이 0이 아닐 조건이 기본 랭크 $m = 1$ 인 경우에 한하여 성립하며, 비콤팩트 유형의 대칭 공간에서 라플라스 연산자의 스펙트럼 분해를 통해 명시적인 공식이 도출된다.

ABSTRACT

We explain how the Harish-Chandra Plancherel Theorem and results in relative Lie algebra cohomology can be used in order to compute in a uniform way the $L^2$-Betti numbers, the Novikov-Shubin invariants, and the $L^2$-torsion of compact locally symmetric spaces thus completing results previously obtained by Borel, Lott, Mathai, Hess and Schick. It turns out that the behaviour of these invariants is essentially determined by the fundamental rank of the group of isometries of the corresponding globally symmetric space. In particular, we show the nonvanishing of the $L^2$-torsion whenever the fundamental rank is equal to 1.

연구 동기 및 목표

• 국소 대칭 공간 $Y = \Gamma \backslash X$ 에서의 $L^2$-베티 수, 노빅로프-슐빈 불변량, $L^2$-터전을 계산하는 것. 여기서 $X = G/K$ 는 비콤팩트 유형이다.
• 하리쉬-찬드라의 플랑커렐 정리와 $({\mathfrak{g}},K)$-코homology 를 사용하여 이전의 $L^2$-불변량 결과들을 통합하고 완성하는 것.
• 이러한 불변량이 기본 랭크 $m = \mathrm{rk}_{\mathbb{C}}G - \mathrm{rk}_{\mathbb{C}}K$ 에 따라 어떻게 의존하는지 밝혀내는 것.
• 특히 $m=1$ 일 때 $L^2$-터전이 0이 아님을 증명함으로써 이러한 공간에 대한 $L^2$-불변량의 완전한 해석적 분류를 확립하는 것.

제안 방법

• 하리쉬-찬드라 플랑커렐 정리를 사용하여 비콤팩트 유형의 대칭 공간 $X = G/K$ 에서 라플라스 연산자의 $L^2$-스펙트럼을 기약 유니터리 표현으로 분해한다.
• $({\mathfrak{g}},K)$-코homology 를 적용하여 라플라스 연산자의 스펙트럼 자료를 이산 계열 표현의 코homology 와 연결한다.
• 기본 영역 위에서의 적분을 통해 열린 커널의 $\Gamma$-트레이스 $\mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*}$ 를 계산함으로써 스펙트럼 자료를 $L^2$-불변량과 연결한다.
• 제타-정규화된 행렬식을 이용하여 $L^2$-터전을 평가하며, 공식 $-\log \det_{\Gamma}(\Delta_p^*) = \frac{d}{ds}\big|_{s=0} \left( \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\varepsilon \mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*} t^{s-1} dt \right) + \int_\varepsilon^\infty \cdots$ 를 사용한다.
• $k_X(t) = \mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*}$ 의 계산을 컴팩트 쌍대 공간 $X^d = G^d/K$ 에 대한 적분으로 환원하며, 이는 컴팩트 쌍대와 무한소 특성치를 이용한다.
• 이산 계열 표현의 플랑커렐 측도를 표현하는 다항식 $p_l(\nu)$ 를 사용하여 열린 커널 트레이스를 $k_X(t) = \sum_l (-1)^{l+1} \int_{{\mathfrak{a}}^*} e^{-t(\|\nu\|^2 + (u-l)^2\|\alpha_0\|^2)} p_l(i\nu) d\nu$ 로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 대칭 공간 $Y = \Gamma \backslash X$ 의 $L^2$-베티 수가 언제 0이 되는가?
• RQ2 노빅로프-슐빈 불변량이 기본 랭크 $m$ 에 따라 정확히 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $L^2$-터전이 언제 0이 아닐가?
• RQ4 표현 이론과 스펙트럼 이론을 이용해 $L^2$-불변량을 통일적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ5 컴팩트 쌍대 $X^d = G^d/K$ 는 $L^2$-불변량 계산에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $L^2$-베티 수 $b_p^{(2)}(Y)$ 는 $m = 0$ 이고 $p = n/2$ 일 때에만 0이 아니며, 이 경우 $b_{n/2}^{(2)}(Y) = (-1)^{n/2} \chi(Y) = \frac{\mathrm{vol}(Y)}{\mathrm{vol}(X^d)} \chi(X^d)$ 이다.
• 노빅로프-슐빈 불변량 $\alpha_p(Y)$ 는 $m > 0$ 이고 $p \in \left[\frac{n-m}{2}, \frac{n+m}{2} - 1\right]$ 일 때에만 유한하다 (즉, $\infty^+$ 가 아님), 이 범위 내에서 $\alpha_p(Y) = m$ 이다.
• $L^2$-터전 $\rho^{(2)}(Y)$ 는 $m = 1$ 이면 비영이며, 명시적인 공식 $T^{(2)}(X) = (-1)^{(n-1)/2} \chi(X^d_M) \frac{\pi Q_X}{\mathrm{vol}(X^d)}$ 가 성립한다. 여기서 $Q_X = \sum_{l=0}^{u-1} (-1)^l \int_0^{u-l} p_l(y \cdot \alpha_0) dy$ 이다.
• $G = SO(p,q)^0$ 이고 $p \leq q$ 가 홀수일 경우, $Q_{X_{p,q}} = Q_{H^{p+q-1}}$ 이며, $Q_{H^{p+q-1}}$ 는 양의 유리수이므로 $m=1$ 일 때 비영인 터전을 확인한다.
• $X = SL(3,\mathbb{R})/SO(3)$ 일 경우, $Q_X = \int_0^1 y^2 dy = \frac{1}{3}$, $\chi(X^d_M) = 2$ 이며, $\rho^{(2)}(Y) \neq 0$ 이므로 $m=1$ 인 경우의 비영 결과를 확인한다.
• 짝수 차원인 $Y$ 에서는 푸앵카레 dualit의 성질로 인해 $L^2$-터전이 0이 되며, 이는 일반 공식과 일치한다.