[논문 리뷰] $L^2$ norm error estimates of BDF methods up to fifth-order for the phase field crystal model

Hong-lin Liao, Yuanyuan Kang|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 03.

Solidification and crystal growth phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단계장 결정형성 모델(6차 비선형 포아르비우스 방정식)에 적용된 고차 BDF 방법(3–5차)에 대해 최초로 $L^2$ 노름 오차 추정을 수립한다. 새로운 이산 기울기 구조를 구축하고, 직교 콘볼루션 핵 및 이산 에너지 기법을 활용하여, 이러한 방법들이 비-A-안정성임에도 불구하고 이산 수준에서 에너지 감소를 보장하고 최적의 오차 경계를 도출함을 증명한다.

ABSTRACT

The well-known backward difference formulas (BDF) of the third, the fourth and the fifth orders are investigated for time integration of the phase field crystal model. By building up novel discrete gradient structures of the BDF-$ mk$ ($ mk=3,4,5$) formulas, we establish the energy dissipation laws at the discrete levels and then obtain the priori solution estimates for the associated numerical schemes (however, we can not build any discrete energy dissipation law for the corresponding BDF-6 scheme because the BDF-6 formula itself does not have any discrete gradient structures). With the help of the discrete orthogonal convolution kernels and Young-type convolution inequalities, some concise $L^2$ norm error estimates (with respect to the starting data in the $L^2$ norm) are established via the discrete energy technique. To the best of our knowledge, this is the first time such type $L^2$ norm error estimates of non-A-stable BDF schemes are obtained for nonlinear parabolic equations. Numerical examples are presented to verify and support the theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 단계장 결정형성(PFC) 모델의 장기 시뮬레이션을 위한 고차 시간 적분 방법을 개발하기 위해.
• 비-A-안정성임에도 불구하고 BDF-3, BDF-4, BDF-5 방법에 대해 엄밀한 $L^2$ 노름 오차 추정을 수립하기 위해.
• BDF-6에 대한 이산 에너지 감소 법칙이 부재한 문제를 극복하고 고차 BDF 방법의 한계를 명확히 하기 위해.
• 기울기 흐름 문제의 장기 응집 동역학 시뮬레이션에서 고차 BDF 방법을 사용하기 위한 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 비선형 고차 포아르비우스 방정식에 대해 A-안정성이 없는 시간 적분기법을 사용하는 경우에도 이산 에너지 분석 기법을 확장하기 위해.

제안 방법

• BDF-3, BDF-4, BDF-5 공식에 대해 새로운 이산 기울기 구조를 제안하여 이산 에너지 감소 법칙을 수립하기 위해.
• 직교 콘볼루션 핵과 영 유형 콘볼루션 부등식을 사용하여 시간에 따른 오차 전파를 제어하기 위해.
• 이산 에너지 기법을 적용하여 초기 자료의 $L^2$ 노름에 대해 $L^2$ 노름 오차 추정을 유도하기 위해.
• BDF 핵의 재귀적 기능 분해를 구축하여 이산 에너지 함수형의 양성성을 증명하기 위해.
• 합성-부분합 항등식과 이산 테일러 전개를 활용하여 방법의 일致성 및 안정성을 분석하기 위해.
• BDF-6이 이산 기울기 구조를 갖지 않아 에너지 감소를 보장할 수 없으며, 이로 인해 이 프레임워크를 통한 오차 분석이 불가능하다는 것을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-A-안정성인 BDF 스킴(3–5차)을 단계장 결정형성 모델에 적용할 때 $L^2$ 노름 오차 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 BDF-3, BDF-4, BDF-5 스킴은 새로운 이산 기울기 구조를 통해 이산 에너지 감소 법칙을 유지하는가?
• RQ3 왜 BDF-6 스킴은 이산 에너지 감소 법칙을 수용할 수 없으며, 이는 오차 분석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 직교 콘볼루션 핵과 이산 에너지 기법을 효과적으로 융합하여 비선형 포아르비우스 방정식에 대해 최적의 오차 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 초기 자료의 $L^2$ 노름은 고차 BDF 스킴의 수렴 속도에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 저자들은 단계장 결정형성 모델(6차 비선형 포아르비우스 방정식)에 적용된 BDF-3, BDF-4, BDF-5 스킴에 대해 최초로 $L^2$ 노름 오차 추정을 수립한다.
• 새로운 이산 기울기 구조를 통해 BDF-3에서 BDF-5까지의 이산 에너지 감소 법칙을 성공적으로 구축하여 안정성과 수렴성을 보장한다.
• BDF-6 스킴은 이산 기울기 구조를 갖지 않아 이산 에너지 감소 법칙을 도출할 수 없으며, 이로 인해 동일한 오차 분석 프레임워크를 적용할 수 없다.
• 직교 콘볼루션 핵과 이산 에너지 기법을 활용하여 최적의 $L^2$ 오차 경계를 도출하였으며, 오차 추정은 초기 자료의 $L^2$ 노름에 의존한다.
• BDF-5의 에너지 함수형에서 상수 $\sigma_{L5} = \frac{646631}{1920000}$가 명시적으로 규명되어 이산 에너지 함수형의 양성을 보장한다.
• 수치 예제는 이론적 수렴 속도를 확인하고 유도된 오차 추정의 정밀도를 검증한다.