[논문 리뷰] $L$-complete Hopf algebroids and their comodules

Andrew Baker|ArXiv.org|2009. 01. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 교환적 노에터 정칙 완비 국소환 위의 $L$-완비 호프 대수체를 도입하며, 특히 리브인-레이트 스펙트럼과 관련된 것들을 중심으로 호프 대수체의 코모듈에 초점을 맞춘다. 유한 생성 코모듈이 Landweber 필터를 갖는다는 것을 증명하고, 고전적 호프 대수에 대한 결과를 일반화하기 위해 '유니포텐트 호프 대수체'의 개념을 도입한다.

ABSTRACT

We investigate Hopf algebroids in the category of $L$-complete modules over a commutative Noetherian regular complete local ring. The main examples are provided by the Hopf algebroids associated to Lubin-Tate spectra in the K(n)-local stable homotopy category and we show that these have Landweber filtrations for all finitely generated discrete modules. Along the way we investigate the canonical Hopf algebras associated to Hopf algebroids over fields and introduce a notion of unipotent Hopf algebroid generalising that for Hopf algebras. In two appendices we continue the discussion of the connections with twisted group rings, and expand on a result of Hovey on the non-exactness of coproducts of L-complete modules.

연구 동기 및 목표

• 교환적 노에터 정칙 완비 국소환 위의 $L$-완비 모듈의 범주에서 호프 대수체 이론을 개발하는 것.
• 특히 $K(n)$-로컬 안정 호모토피 이론의 맥락에서 $L$-완비 호프 대수체 위의 코모듈의 구조를 이해하는 것.
• 유니포텐트 호프 대수의 개념을 호프 대수체로 일반화하고, 그 표현 이론을 연구하는 것.
• 리브인-레이트 스펙트럼 $E$에 대응하는 호프 대수체 $E^ u_*E$가 유한 생성 코모듈에 대해 Landweber 필터를 갖는지 확인하는 것.
• 특히 그린리즈-메이와 호브이-스트릭랜드의 작업과 관련하여, 호모토피 이론에서 $L$-완비 모듈과 다른 완비화 이론 간의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• $rak{m}$-adic 완비화의 유도된 함자에 의해 정의되는 $L$-완비 모듈의 개념을, 교환적 노에터 정칙 완비 국소환 $R$ 위의 모듈의 범주로 적응한다.
• $L$-완비 $R$-모듈의 범주 안에서 호프 대수체로 간주되는 $L$-완비 호프 대수체를 도입하며, 특히 리브인-레이트 스펙트럼과 관련된 호프 대수체 $E^ u_*E$에 중점을 둔다.
• 체 위의 유니포텐트 호프 대수체를 유니포텐트 호프 대수의 일반화로 정의하며, 관련된 호프 대수의 구성 방법을 사용한다.
• Landweber 필터 정리의 응용을 통해 $L$-완비 호프 대수체 위의 유한 생성 이산 코모듈에 대해 단순 몫을 갖는 조합 시리즈의 존재를 보인다.
• Koszul 분해와 $\text{Tor}$ 계산을 통해 유도된 함자 $L_s$ 를 분석하고, 특정 모듈에 대해 $L_1$ 이 0이 아님을 증명한다.
• 역극한 기법과 $\text{lim}^1$ 및 $\text{lim}$ 이 포함된 정확한 수열에서의 다이어그램 추적을 통해, 무한 합에 대한 $L_0$ 가 단사가 아님을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 코모듈이 $L$-완비 호프 대수체 위에서 단순 몫을 갖는 조합 시리즈를 갖는가?
• RQ2 유니포텐트 호프 대수체의 개념은 고전적 유니포텐트 호프 대수의 이론을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 호프 대수체 위의 코모듈과 그 관련된 호프 대수 위의 코모듈 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $L$-완비 모듈의 무한 합에 대해 $L_0$-함자가 정확한가? 이는 $L$-완비 모듈의 범주에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $K(n)$-로컬 범주에서 리브인-레이트 스펙트럼과 관련된 호프 대수체가 Landweber 필터 성질을 만족하는가?

주요 결과

• $L$-완비 호프 대수체 위의 유한 생성 코모듈은 각 몫이 극대 아이디얼의 거듭제곱에 의하여 소멸되는 조합 시리즈를 갖는다.
• 체 위의 호프 대수체의 관련 호프 대수가 유니포텐트이면, 그 호프 대수체 자체도 유니포텐트이다.
• 리브인-레이트 스펙트럼 $E$에 대응하는 호프 대수체 $E^ u_*E$는 모든 유한 생성 이산 코모듈에 대해 Landweber 필터를 갖는다.
• 자연스러운 사상 $L_0(\bigoplus_k N) \to L_0(\bigoplus_k M)$ 는 단사가 아니며, 이는 $L_0$ 가 $L$-완비 모듈의 무한 합에 대해 좌측 완전성(왼쪽 정확성)을 잃는다는 것을 보여준다.
• $L_1(\bigoplus_k M/N)$ 이 특정 $L$-완비 모듈 $M/N$ 에 대해 0이 아니므로, $L_1$ 이 $L_0$ 가 정확할 때조차도 0이 아님을 보여준다.
• $p,u$ 가 정 régulair하게 작용하는 모듈에 대해서는 모든 $s > 0$ 에 대해 $L_s(M) = 0$ 이며, 이는 이러한 모듈이 $L$-완비이면서 고차 유도 함자들이 자명하다는 것을 의미한다.