[논문 리뷰] L\\^e-Greuel type formula for the Euler obstruction and applications

Nicolas Dutertre, Nivaldo G. Grulha|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 27.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특이 복소기하공간 위의 해석함수에 대한 올리버 장식의 일반화를 위한 Lê-Greuel 유형의 공식을 수립한다. 특이 설정에서 밀너 수의 공식을 일반화하기 위해 Brasselet 수 $\mathrm{B}_{f,X}(0) = \mathrm{Eu}_X(0) - \mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ 를 도입한다. 카르탕-와일 형식과 켈러 기하학을 사용하여 적분 공식을 유도하며, 극성 다중도와 교차 이론을 통해 케네디의 가우스-بون넷 공식을 특이 다양체로 일반화한다.

ABSTRACT

The Euler obstruction of a function can be viewed as a generalization of the Milnor number for functions defined on singular spaces. In this work, using the Euler obstruction of a function, we give a version of the L\\^e-Greuel formula for two germs of analytic functions with isolated singularity at the origin on a singular space. Using this formula and results of Loeser, we also present an integral formula for the Euler obstruction of a function, generalizing a formula of Kennedy.

연구 동기 및 목표

• 특이 복소기하공간 위의 함수에 대해 밀너 수의 Lê-Greuel 공식을 일반화하기.
• 고립 특이점을 가진 함수에 대한 올리버 장식의 일반화로 Brasselet 수 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 를 정의하고 연구하기.
• 이전에 매끄러운 공간에서 알려진 밀너 수의 적분 공식을 카르탕-와일 형식과 교차 중복도를 사용하여 특이 다양체로 확장하기.
• 극성 다양체와 국소 불변량을 통해 특이 공간에서 밀너 섬유의 오일러 특성에 대한 가우스-بون넷 유형의 공식 수립하기.

제안 방법

• 지역 올리버 장식 $\mathrm{Eu}_X(0)$ 와 함수의 올리버 장식 $\mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ 의 차이로 Brasselet 수 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 를 도입하기.
• 특이 공간 위의 교차 이론을 사용하여 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 를 극성 집합 $\Gamma^q_{f,g}$ 와의 교차 중복도 $I_{X,0}(X^f, \overline{\Gamma^q_{f,g}})$ 와 연결하기.
• Loeser의 극성 다중도에 대한 적분 공식을 적용하여 $I_{X\cap H^i,0}(\Gamma^i_f, X^f \cap H^i)$ 를 카르탕-와일 형식 $c^{w}_{d-1-i}(T_f)$ 와 켈러 형식 $\omega$ 를 통해 표현하기.
• 일반적인 적분 공식 유도: $\mathrm{B}_{f,X}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{X_{\text{reg}}\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d-1} c^{w}_{d-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$.
• 일반적인 선형 부분공간의 플래그 $H^i$ 를 사용하여 문제를 저차원에서의 Lê-Greuel 공식의 반복 적용으로 환원하기.
• 기존 결과를 특수한 경우로 복원: $X = \mathbb{C}^N$ 일 때 공식은 테시에의 보조정리와 케네디의 적분 공식으로 축소된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀너 수의 Lê-Greuel 공식은 어떻게 특이 복소기하공간 위의 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 특이 공간에서 고립 특이점을 가진 함수에 대해 밀너 수의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 카르탕-와일 형식과 같은 미분기하학적 도구를 사용하여 특이 공간 위의 함수의 올리버 장식에 대한 적분 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 극성 다양체와 교차 중복도는 특이 설정에서 올리버 장식과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특이 공간에서 밀너 섬유의 오일러 특성에 대한 가우스-بون넷 유형의 공식을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• Brasselet 수 $\mathrm{B}_{f,X}(0)$ 는 $\mathrm{Eu}_X(0) - \mathrm{Eu}_{f,X}(0)$ 로 정의되며, 특이 공간 위의 함수에 대한 올리버 장식의 일반화를 제공한다.
• Lê-Greuel 유형의 공식 수립: $\mathrm{B}_{f,X}(0) - \mathrm{B}_{f,X^g}(0) = (-1)^d I_{X,0}(X^f, \overline{\Gamma^q_{f,g}})$, 여기서 $\Gamma^q_{f,g}$ 는 쌍 $(f,g)$ 의 극성 집합이다.
• 적분 공식 유도: $\mathrm{B}_{f,X}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{X_{\text{reg}}\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d-1} c^{w}_{d-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$.
• 일 때 $X = \mathbb{C}^N$ 이면 공식은 테시에의 보조정리와 케네디의 적분 공식을 복원한다.
• 공식은 $X$ 의 스트라타 $V_k$ 로 일반화되며, $\mathrm{B}_{f,\overline{V_k}}(0) = \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{V_k\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d_k-1} c^{w}_{d_k-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$ 를 얻는다.
• 밀너 섬유 $f^{-1}(\delta)\cap X\cap B_\varepsilon$ 의 오일러 특성에 대한 가우스-بون넷 유형의 공식을 도출: $\chi(f^{-1}(\delta)\cap X\cap B_\varepsilon) = \sum_{k=1}^q (1 - \chi(\mathrm{lk}^\mathbb{C}(V_k,X))) \cdot \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\int_{V_k\cap f^{-1}(\delta)\cap B_\varepsilon} \sum_{i=0}^{d_k-1} c^{w}_{d_k-1-i}(T_f) \wedge \omega^i$.