[논문 리뷰] L\\'evy processes with marked jumps II : Application to a population model with mutations at birth

Cécile Delaporte|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 28.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 돌연변이가 탄생 시점에 발생하는 인구 모델의 渐近적 유전학을 marked Lévy process와 excursion theory를 사용하여 연구한다. 선형 공통화 및 돌연변이 발생 시간을 코딩하는 marked coalescent point process의 수렴성을 다루며, 이는 분광적으로 양의 Lévy process의 ladder height process를 통해 특징지어지며, 희귀 돌연변이 상황에서 명시적인 극한을 제공한다.

ABSTRACT

Consider a population where individuals give birth at constant rate during their lifetimes to i.i.d. copies of themselves. Individuals bear clonally inherited types, but (neutral) mutations may happen at the birth events. The smallest subtree containing the genealogy of all the extant individuals at a fixed time \ au, is called the coalescent point process. We enrich this process with the history of the mutations that appeared over time, and call it the marked coalescent point process. With the help of limit theorems for L\\'evy processes with marked jumps established in a previous work (arXiv:1305.6245), we prove the convergence of the marked coalescent point process with large population size and two possible regimes for the mutations - one of them being a classical rare mutation regime, towards a multivariate Poisson point process. This Poisson point process can be described as the coalescent point process of the limiting population at \ au, with mutations arising as inhomogeneous regenerative sets along the lineages. Its intensity measure is further characterized thanks to the excursion theory for spectrally positive L\\'evy processes. In the rare mutations asymptotic, mutations arise as the image of a Poisson process by the ladder height process of a L\\'evy process with infinite variation, and in the particular case of the critical branching process with exponential lifetimes, the limiting object is the Poisson point process of the depths of excursions of the Brownian motion, with Poissonian mutations on the lineages.

연구 동기 및 목표

• 탄생 시점에 돌연변이가 발생하는 인구의 유전적 구조를 분석하여, 선형 공통화와 돌연변이 역사를 함께 다루는 동적 구조를 집중적으로 다룬다.
• coalescent point process 프레임워크를 확장하여 돌연변이를 나타내는 marked jump를 포함함으로써, 대규모 인구에서 대립유전자 분할을 연구할 수 있도록 한다.
• 대규모 인구 크기 스케일링 하에서 marked splitting tree의 극한 정리들을 수립하며, 특히 중성 돌연변이의 맥락에서 다룬다.
• 분광적으로 양의 Lévy process의 excursion theory를 사용하여 선형 내에서 돌연변이 사건의 극한 분포를 특징짓는다.
• 일반적인 돌연변이 강도 및 희귀 돌연변이 상황의 두 가지 상황에서 명시적인 수렴 결과를 도출하며, 임계 분열 경우에서의 브라운 운동의 극한과의 연결 고리를 밝힌다.

제안 방법

• 탄생 시점과 수명을 위한 강도 측도 $\text{d}t \cdot \Lambda(\text{d}r)$를 갖는 포isson process를 사용하여, 각 탄생 이벤트가 0(클론) 또는 1(변이)로 표시된 marked splitting tree로 인구를 모델링한다.
• 고정된 시간 $\tau$에서 $n$-번째 인구의 각 선형에서의 공통화 시간과 돌연변이 발생 시간을 코딩하는 랜덤 점 측도로 marked coalescent point process $\Sigma_n$을 정의한다.
• 나무 구조를 표현하기 위해 jumping chronological contour process (JCCP)를 사용하며, 이는 분광적으로 양의 Lévy process로 수렴함을 보이며, 이는 $\tau$ 이하에서 반사되고 0에서 정지됨을 의미한다.
• 이전 연구 [8]에서 얻은 marked jump를 갖는 Lévy process의 극한 정리들을 적용하여, $\Sigma_n$의 라플라스 함수수렴이 다변량 포아송 점 프로세스의 라플라스 함수수렴으로 이어짐을 보인다.
• 극한 포아송 프로세스의 강도 측도를 excursion theory를 통해 특징짓되, 특히 Lévy process의 ladder height process를 활용한다.
• 희귀 돌연변이 상황에서는 돌연변이가 Lévy process의 ladder height process에 의해 상사된 포아송 프로세스의 이미지로 나타남을 보이며, 지수 수명을 갖는 임계 경우에서는 브라운 운동의 극한과 깊은 관련이 있음을 명시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인구 크기가 커질수록 탄생 시점에 돌연변이가 발생하는 인구의 유전적 구조는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 선형 공통화와 돌연변이 사건을 모두 코딩하는 marked coalescent point process의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 특히 희귀 돌연변이 상황에서 선형 내에서 돌연변이 역학은 어떻게 극한으로 나타나는가?
• RQ4 분광적으로 양의 Lévy process의 excursion theory를 사용하여 극한 포아송 점 프로세스의 강도 측도를 특징지울 수 있는가?
• RQ5 임계 분열 과정에서 지수 수명을 갖는 경우, 극한 돌연변이 프로세스는 브라운 운동의 극한과 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 인구 크기 $I_n \to \infty$일 때 marked coalescent point process $\Sigma_n$은 다변량 포아송 점 프로세스로 확률적 수렴을 보인다.
• 희귀 돌연변이 상황에서는 극한 돌연변이 프로세스가 무한 변동성을 갖는 Lévy process의 ladder height process에 의해 상사된 포아송 프로세스의 이미지로 분포함을 보였다.
• 지수 수명을 갖는 임계 분열 과정에서는 극한 대상이 브라운 운동의 극한 깊이에 대한 포아송 점 프로세스이며, 돌연변이는 선형에 포아송 마크로 발생한다.
• 극한 포아송 프로세스의 강도 측도는 특히 기저의 분광적으로 양의 Lévy process의 극한 로컬 시간과 ladder height process를 통해 특징지어진다.
• 약한 수렴을 통해 라플라스 함수의 수렴이 확보되었으며, 이는 스케일링된 마코프 체인의 균일 수렴과 지배 수렴 원리에 기반한다.
• 수명 측도 $\Lambda$에 대한 약한 모멘트 조건 하에서도 수렴이 성립하며, 초기 인구 크기의 선택에 관계없이 인구 크기가 커질 경우 극한은 안정적이다.