[논문 리뷰] $L$-functions of ${\mathrm{GL}}(2n):$ $p$-adic properties and non-vanishing of twists

Mladen Dimitrov, Fabian Januszewski외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 완전 실수체 F 위의 GL_{2n}에 대한 코homological 커피달 자동형표현 Π가 샤키라 모델을 갖는 경우, 정련된 히케 이론을 사용한 모듈라 기호 접근법을 통해 p-진 L-함수를 구성한다. 주요 결과는 약간의 정규성 조건 하에, 모든 p-거듭제곱 판별자 수렴을 갖는 딜레르트 문자 χ에 대해 중심 타원형 L-값 L(1/2, Π ⊗ χ)이 유한한 개수를 제외하고는 0이 아니라는 것을 보여주며, 이는 고차수 L-함수로의 비영 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The principal aim of this article is to attach and study $p$-adic $L$-functions to cohomological cuspidal automorphic representations $Π$ of $\mathrm{GL}(2n)$ over a totally real field $F$ admitting a Shalika model. We use a modular symbol approach, along the global lines of the work of Ash and Ginzburg, but our results are more definitive since we draw heavily upon the methods used in the recent and separate works of all the three authors. By construction our $p$-adic $L$-functions are distributions on the Galois group of the maximal abelian extension of $F$ unramified outside $p\infty$. Moreover we work under a weaker Panchishkine type condition on $Π_p$ rather than the full ordinariness condition. Finally, we prove the so-called Manin relations between the $p$-adic $L$-functions at all critical points. This has the striking consequence that, given a unitary $Π$ whose standard $L$-function admits at least two critical points, and given a prime $p$ such that $Π_p$ is ordinary, the central critical value $L( frac12, Π\otimesχ)$ is non-zero for all except finitely many Dirichlet characters $χ$ of $p$-power conductor.

연구 동기 및 목표

• 완전 실수체 F 위의 GL_{2n}에 대한 코homological 커피달 자동형표현 Π에 대해, 샤키라 모델을 갖는 경우 p-진 L-함수를 구성하는 것.
• GL_2 및 GL_3를 초월하여 비영 결과를 고차수 L-함수로 일반화하는 것.
• 비판적 점에서 p-진 L-함수 간의 만린 관계를 확립하여, 타원형 L-값의 영행동을 제어하는 것.
• 비정규적 경우, 즉 Π_p가 완전히 정규적이지 않은 경우에도 비영 결과를 확장하는 것.
• 특수값 추측 및 이와사와 이론에 응용되는 산술적 결과를 제공하는 것, 특히 힐베르트 촉점형식의 대칭 제곱 L-함수에 대한 새로운 유리수 성질을 포함한다.

제안 방법

• 아시와 진츠부르크의 접근법을 영감으로 삼아, 완전 실수체 위의 GL_{2n}에 대한 코homological 자동형표현에 적응한 모듈라 기호 접근법을 사용한다.
• p∞를 제외한 모든 비분기 아벨 확대의 갈루아 군 위에 값이 p-진 체에 있는 p-진 분포를 구성한다.
• 소수 p 위의 소수에서의 히케 연산자를 사용하여, 컴act 지지 코hom로에서 고유계급을 정의하며, 이 경우 최상위 차수 t = |Σ∞|(n² + n - 1)에 집중한다.
• p-진 보간을 보장하기 위해, 전적으로 정규성보다 더 약한 조건인 판키쉬킨 타입 조건을 국소 성분 Π_p에 적용한다.
• p-진 다항식과 관련된 p-진 L-함수에 대해 위어스트라스 준비정리를 적용하여 영점의 수를 제어한다.
• 왜곡된 노름 사상과 측도의 후퇴를 사용하여, 비정규적 및 왜곡된 표현으로의 비영 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 실수체 F 위의 GL_{2n}에 대한 코homological 자동형표현 Π가 샤키라 모델을 갖는 경우, p-진 L-함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 p-거듭제곱 판별자 수렴을 갖는 딜레르트 문자 χ에 대해 중심 타원형 L-값 L(1/2, Π ⊗ χ)이 언제 비영이 되는가?
• RQ3 p-진 L-함수 간의 만린 관계는 타원형 L-값의 영행동을 어떻게 제약하는가?
• RQ4 Π_p가 완전히 정규적이지 않은 거의 정규적 경우에도 비영 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ5 동일한 문자 χ에 의해 왜곡된 다수의 L-함수에 대해 동시에 비영이 성립하는가?

주요 결과

• Q-정규성이 p에서 성립하는 단위 촉점형 자동형표현 Π의 경우, 모든 p-거듭제곱 판별자 수렴을 갖는 딜레르트 문자 χ에 대해 L(1/2, Π ⊗ (χ∘N_{F/Q})) ≠ 0 이다. 다만 유한한 개수를 제외한다.
• Π가 완전히 정규적이지 않더라도, 더 약한 판키쉬킨 타입 조건을 만족하면 중심 타원형 L-값이 여전히 비영이다.
• 이 증명은 p-진 L-함수 간의 만린 관계에 기반하며, 이는 관련 p-진 분포의 영점 집합을 제어한다.
• 동시 비영 결과가 성립한다: 유한한 수의 이러한 표현 Π_k에 대해, 그들의 중심 타원형 L-값의 곱은 모든 p-거듭제곱 판별자 수렴을 갖는 χ에 대해 유한한 개수를 제외하고는 0이 아니다.
• 이 결과는 힐베르트 촉점형식의 대칭 제오곱 L-함수에 대한 새로운 유리수 성질을 이끌어내며, 라만두주 Δ-함수의 경우에도 적용 가능하다.
• Cl_F^+(p^∞) 위의 측도로서 p-진 L-함수의 구성은 이와사와 이론 및 특수값 추측에 대한 산술적 응용의 틀을 제공한다.