[논문 리뷰] L-groups and parameters for covering groups

Martin H. Weissman|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 03.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Brylinski-Deligne 확장의 불변량 Q, D, f를 사용하여 국소 및 전역 체 위의 쿼드라틱 리ductive 군의 n차 덮개에 대해 L군을 정의함으로써, Langlands 프로그램을 덮개 군으로 확장한다. 메타갈루아 군과 에탈 체계 위의 게르베를 통해 비분할 L군을 구성함으로써, 진짜 기약 표현(비분기 및 이산 계열 포함)의 매개변수화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We incorporate covers of quasisplit reductive groups into the Langlands program, defining an L-group associated to such a cover. We work with all covers that arise from extensions of quasisplit reductive groups by $\mathbf{K}_2$ -- the class studied by Brylinski and Deligne. We use this L-group to parameterize genuine irreducible representations in many contexts, including covers of split tori, unramified representations, and discrete series for double covers of semisimple groups over $\mathbb R$. An appendix surveys torsors and gerbes on the étale site, as they are used in the construction of the L-group.

연구 동기 및 목표

• 논문은 쿼드라틱 리ductive 군의 덮개를 Langlands 프로그램에 통합하고자 한다.
• 특히 K2-확장에서 유래한 덮개 군에 대해 체계적인 L군 구성법의 부재를 다루고자 한다.
• 목적은 국소, 전역, 수론적 맥락에서 진짜 기약 표현을 매개변수화하는 L군을 정의하는 것이다.
• 게르베와 토르서를 통해 표현론적 구성과 갈루아 이론적, 코homological 도구를 통합하고자 한다.
• 이 작업은 메타픽틱 맥락에서 L함수와 위엘 매개변수화를 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• L˜G를 GalF에 대한 ˜G∨의 확장으로 구성한다. 여기서 ˜G∨는 편의를 위한 복소 리ductive 군이다.
• Brylinski-Deligne 이론의 세 불변량을 사용한다: 갈루아-불변의 이차형식 Q, 코캐릭터 격자 위의 중심 확장 D, 그리고 고차 불변량 f.
• 힐버트 기호를 통해 µ2 → gGalF → GalF의 형태로 메타갈루아 군을 정의한다.
• 에탈 체계 F´et 위에 게르베 Eǫ(˜G)를 정의하며, 이는 L군 구성의 두 번째 토글로 기능한다.
• Baer 합을 통해 메타갈루아 확장과 게르베의 기본군을 조합하여 L군 확장을 형성한다.
• L군을 사용하여 Weil 매개변수 WF → L˜G에 의한 ǫ-진짜 표현의 매개변수화를 수행하며, ˜G∨ 작용 하의 궤도로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼드라틱 리ductive 군의 K2-확장에서 유래한 덮개 군에 대해 Langlands 프로그램을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 이러한 덮개 군에 대해 L군의 올바른 일반화는 무엇이며, 고전적 Langlands L군과 어떻게 다를까?
• RQ3 이 확장된 L군을 통해 어떻게 진짜 기약 표현을 매개변수화할 수 있는가?
• RQ4 게르베와 토르서는 덮개 군의 L군을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 L군은 리만 부분군으로의 제한과 국소-전역 체계 간 전환에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• L군 L˜G는 F´et 위의 게르베의 기본군과 메타갈루아 군을 이용하여 ˜G∨ → L˜G → GalF의 확장으로 구성된다.
• ‘잘 정렬된’ 호모모르피즘에 대해 함자적이며, 리만 부분군과 국소-전역 제한을 유지한다.
• L군은 Weil 매개변수 WF → L˜G의 ˜G∨-궤도를 통해 ǫ-진짜 기약 표현을 매개변수화한다.
• 스플릿 토리의 경우, Weil 매개변수를 통한 매개변수화는 Deligne의 구성과 일치하며, 메타픽틱 경우 고전적 국소 Langlands 대응을 복원한다.
• 스플릿 토리의 경우, L군 구성은 [GG14]의 E1 + E2 방법과 일치하지만, 아직 스필릿 리ductive 군에 대해서는 검증되지 않았다.
• 논문은 메타픽틱 맥락에서 L함수와 자동형 L함수를 위한 체계적인 프레임워크를 제공하며, 특히 비분기 및 이산 계열 표현에 대해 유용하다.