[논문 리뷰] L-infinity Formality check for the Hochschild Complex of Certain Universal Enveloping Algebras

Martin Bordemann, Olivier Elchinger외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특정 리 대수, 특히 카르탕-3-정규 이차 리 대수(예: $\mathfrak{so}(3)$)와 자유 리 대수를 포함한 유니버설 포괄 대수의 호크시ลด 복합체에 대한 $L_\infty$-형식성을 조사한다. 특성 3-류의 장애물과 호모토피 전달을 이용하여 이러한 경우에 형식성이 성립하지 않음을 보이고, 차수 3의 비자명한 $d_3$ 브라켓을 명시적으로 계산하여 $L_\infty$-준동형을 복원한다.

ABSTRACT

We study the L-infinity-formality problem for the Hochschild complex of the universal enveloping algebra of some examples of Lie algebras such as Cartan-3-regular quadratic Lie algebras (for example semisimple Lie algebras and in more detail so(3)), and free Lie algebras generated by a vector space of dimension at least 2. We show that for these examples formality in Kontsevich's sense does NOT hold, although some of them allow unconditioned deformability. We compute the L-infinity-structure on the cohomology given by homotopy transfer in certain cases.

연구 동기 및 목표

• 특정 리 대수의 유니버설 포괄 대수의 호크시ลด 복합체가 콘체비치의 의미에서 $L_\infty$-형식성을 갖는지 여부를 결정하는 것.
• 등급화된 셰바레비치-일렌버그 코homology에서 특성 3-류 $c_3$ 를 이용하여 $L_\infty$-형식성의 장애를 조사하는 것.
• 형식성이 실패할 경우 호모토피 전달을 통해 코homology 위에 고차수 $L_\infty$-브라켓을 계산하는 것.
• 형식성이 성립하지 않는 경우, 특히 $\mathfrak{so}(3)$ 및 자유 리 대수에 대해 $L_\infty$-준동형을 복원하는 데 기여하는 단일 비자명한 $d_3$ 브라켓을 명시적으로 구성하는 것.

제안 방법

• 호크시ลด 코homology 등급 리 대수의 등급화된 셰바레비치-일렌버그 코homology에서 $L_\infty$-형식성의 주요 장애로 특성 3-류 $c_3$ 를 사용하는 것.
• 콘체비치의 형식성 맵을 적용하여 $U(\mathfrak{g})$의 호크시ลด 복합체를 $\mathfrak{g}$의 셰바레비치-일렌버그 복합체($\mathcal{S}\mathfrak{g}$ 값)와 연결하는 것.
• 이차 리 대수의 경우 이차 카시미르와 카르탕 3-코호몰로지의 슈타우엔 베크 브라켓을 계산하여 $c_3$ 를 평가하는 것.
• 자유 리 대수의 경우 $U(\mathfrak{f}(V)) \cong \mathcal{T}^\bullet V$ 의 동형을 활용하고, 도수의 공간에서 내부 도수의 보완을 계산하는 것.
• 형식성이 실패할 경우, 호모토피 펌터브레이션 렘마의 $L_\infty$-형식을 사용하여 코homology 위에 고차수 브라켓을 재구성하는 것.
• 형식성이 성립하지 않는 $\mathfrak{so}(3)$ 및 자유 리 대수의 경우, 차수 3의 $d_3$ 브라켓을 명시적으로 구성하여 $L_\infty$-준동형을 복원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 리 대수의 유니버설 포괄 대수의 호크시ลด 복합체가 콘체비치의 의미에서 $L_\infty$-형식성을 갖는가?
• RQ2 $\mathfrak{so}(3)$ 및 자유 리 대수에 대해 $L_\infty$-형식성의 실패 원인은 무엇인가?
• RQ3 형식성이 성립하지 않는 경우, 단일 고차수 브라켓 $d_3$ 를 추가함으로써 $L_\infty$-준동형을 복원할 수 있는가?
• RQ4 특성 3-류 $c_3$ 는 $U(\mathfrak{g})$의 호크시ลด 복합체에서 형식성의 실패를 어떻게 탐지하는가?
• RQ5 $\mathfrak{so}(3)$ 및 자유 리 대수에 대해 $L_\infty$-준동형을 복원하는 $d_3$ 브라켓의 명시적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 비아벨 리 대수의 유니버설 포괄 대수의 호크시ลด 복합체, 특히 $\mathfrak{so}(3)$의 경우 $L_\infty$-형식성이 아니다.
• 형식성의 실패는 호크시ลด 코호몰로지 등급 리 대수의 등급화된 셰바레비치-일렌버그 코호몰로지에 비자명한 특성 3-류 $c_3$ 에 의해 차단된다.
• $\mathfrak{so}(3)$ 의 경우, 차수 3의 명시적인 $d_3$ 브라켓을 추가함으로써 $L_\infty$-준동형이 복원된다.
• 차원 $\geq 2$ 인 벡터 공간에 의해 생성된 자유 리 대수의 경우도 형식성이 실패하며, 동일하게 단일 $d_3$ 브라켓을 추가함으로써 $L_\infty$-준동형이 복원된다.
• 형식성이 없음에도 불구하고, 이러한 결합 대수의 변형 문제는 항상 해가 존재한다. 이는 형식성이 적합성에 필수적인 것은 아님을 보여준다.
• 자유 대수의 경우, 호모토피 전달과 도수 및 내부 도수의 구조를 활용하여 두 경우 모두에서 $d_3$ 브라켓을 명시적으로 계산하였다.