[논문 리뷰] L^p-asymptotic stability analysis of a 1D wave equation with a nonlinear damping

Yacine Chitour, Swann Marx외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 26.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p \in [2, \infty]$에 대해 $L^p$ 기반 기능 공간에서 비선형 감쇠를 갖는 1차원 파동 방정식에 대해 잘 정의됨과 함께 지수적 $L^p$-점근 안정성을 확립한다. 리아푸노프 함수와 무한차원 선형 시간변동 시스템에 대한 흡인성 결과를 사용하여, 비단조성 비선형성의 경우에도 딜리클레 경계 조건과 국소화된 감쇠 하에서 궤적의 지수적 감쇠를 증명하며, 명시적인 감쇠 속도 추정을 제공한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic stability analysis of a one dimensional wave equation with Dirichlet boundary conditions subject to a nonlinear distributed damping with an L p functional framework, p $\in$ [2, $\infty$]. Some well-posedness results are provided together with exponential decay to zero of trajectories, with an estimation of the decay rate. The well-posedness results are proved by considering an appropriate functional of the energy in the desired functional spaces introduced by Haraux in [11]. Asymptotic behavior analysis is based on an attractivity result on a trajectory of an infinite-dimensional linear time-varying system with a special structure, which relies on the introduction of a suitable Lyapunov functional. Note that some of the results of this paper apply for a large class of nonmonotone dampings.

연구 동기 및 목표

• 비선형 감쇠를 갖는 1차원 파동 방정식에 대해 $p \in [2, \infty]$에 대해 $L^p$ 기반 기능 공간에서 잘 정의됨과 점근 안정성을 확립한다.
• 일반적인 비선형 감쇠, 특히 비단조성 경우를 포함하여 궤적의 점근적 행동을 분석한다.
• $L^p$ 노름에서 에너지 및 상태 궤적의 명시적 감쇠 속도 추정을 제공한다.
• 기존의 $L^2$ 프레임워크를 초월하여 $p \neq 2$인 $L^p$ 공간, 특히 $p = \infty$에 대해 안정성 결과를 확장한다.
• 고차원에서 $p \neq 2$일 때 다람쥐형 연산자(D’Alembertian)의 유계성 부족 문제를 다루며, 1차원에서는 유계성이 성립하므로 이를 중심으로 다룬다.

제안 방법

• 분석은 허로우의 [11]에서 제안한 기능적 에너지 프레임워크를 $p \in [2, \infty]$에 대해 적응하여 사용한다.
• 해의 존재성과 유일성은 기능 공간 $H_p(0,1) = W_0^{1,p}(0,1) \times L^p(0,1)$ 및 $D_p(0,1) = W^{2,p}(0,1) \cap W_0^{1,p}(0,1) \times W_0^{1,p}(0,1)$에서의 에너지 추정을 통해 확립된다.
• 핵심 기법은 궤적을 중심으로 원래 방정식을 선형화하여 유도된 선형 시간변동 시스템을 분석하는 것이다.
• 무한차원 시스템에 대한 흡인성 결과를 활용하여, 시간변동 시스템에 특화된 리아푸노프 함수를 사용하여 점근 안정성을 증명한다.
• 선형화된 시스템의 해를 동차 및 비동차 항의 합으로 표현하기 위해 두아멜 공식(Duhamel’s formula)을 적용한다.
• 스페이셜 도함수의 $H^1$-유계성에서 $L^\infty$-유계성으로의 향상은 레릴리히-콘드라코프 컴acts성 임bedding을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 감쇠를 갖는 1차원 파동 방정식에 대해 $p \in [2, \infty]$에 대해 $L^p$ 공간에서 지수적 $L^p$-점근 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 $L^p$ 프레임워크에서 궤적의 감쇠 속도는 초기 조건과 감쇠 성질에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비단조성 비선형성 $\sigma$가 $\xi \sigma(\xi) \geq 0$를 만족할 때 안정성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 $p \neq 2$인 $L^p$ 공간에서 다람쥐형 연산자의 역할은 무엇이며, 어떤 조건에서 1차원에서 그 유계성이 성립하는가?
• RQ5 이 안정성 분석을 코르테웨그-데 브리스 방정식이나 경계 제어 파동 방정식과 같은 다른 PDE로 $L^p$에 대해 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 $a(x)$ 및 $\sigma$ 조건 하에 $p \in [2, \infty]$에 대해 기능 공간 $H_p(0,1)$ 및 $D_p(0,1)$에서 시스템은 잘 정의되며, 해가 존재하고 유일하다.
• 조건 $\xi \sigma(\xi) \geq 0$ 하에 $p \in [2, \infty]$에 대해 $H_p(0,1)$에서 궤적이 0으로 지수적으로 감쇠됨을 증명하였으며, 감쇠 속도는 초기 조건 크기에 따라 달라진다.
• 초기 자료가 $D_2(0,1)$에 속할 경우, $\|z_x\|_{L^\infty(0,1)} \leq C e^{-\beta t} \|(z_0,z_1)\|_{D_2(0,1)}$를 만족하는 일부 $C, \beta > 0$가 존재하여, 공간 도함수의 $L^\infty$-유계성이 유도된다.
• $H_\infty(0,1)$에서의 감쇠 속도 추정은 $\|(z,z_t)\|_{H_\infty(0,1)} \leq C e^{-\beta_1 t} \|(z_0,z_1)\|_{D_2(0,1)}$로 유도되며, 여기서 $C = 2K_1 + \frac{K_2}{\beta_2 - \beta_1} m a_1$이다.
• 결과는 섹터 유계 또는 단조성 제약 없이 광범위한 비단조성 감쇠에 적용 가능하다.
• 분석을 통해 1차원에서 $H_p(0,1)$에서 다람쥐형 연산자가 $p \in [2, \infty]$에 대해 유계임을 확인하였으며, 이는 $L^p$ 프레임워크의 가능성을 보장한다.