[논문 리뷰] $L^{p}$ Boundedness of Riesz transform related to Schrödinger operators on a manifold

Nadine Badr, Besma Ben Ali|ArXiv.org|2008. 12. 06.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이중성 성질과 피카르레 부등식을 만족하는 완전한 리만다이언 군면에서 슈뢰딩거 연산자 $-\Delta + V$와 관련된 리프스 변환의 $L^p$ 유계성을 확립한다. 잠재력 $V$가 역 헬더 클래스 $RH_q$에 속한다는 가정 하에, 개선된 페퍼만-포잉 부등식, 캘러존드-지그문트 분해, 복소 보간을 사용하여 $p > 2$에 대한 $L^p$ 유계성을 확장하고, $\|\nabla u\|_p$ 및 $\|V^{1/2}u\|_p$에 대한 정확한 추정을 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$에 대해 유도한다. 이는 다항성장이 있는 리 군에 응용된다.

ABSTRACT

We establish various $L^{p}$ estimates for the Schrödinger operator $-Δ+V$ on Riemannian manifolds satisfying the doubling property and a Poincaré inequality, where $Δ$ is the Laplace-Beltrami operator and $V$ belongs to a reverse Hölder class. At the end of this paper we apply our result on Lie groups with polynomial growth.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 리만다이언 군에서 $p \leq 2$를 초월하여 슈뢰딩거 연산자 $-\Delta + V$의 리프스 변환에 대한 $L^p$ 유계성 결과를 확장하는 것.
• 기하학적 및 잠재력 조건을 최소화한 조건 하에서 $\|\nabla u\|_p$ 및 $\|V^{1/2}u\|_p$에 대한 정확한 $L^p$ 추정을 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$에 대해 유도하는 것.
• 이전에 알려진 노르말리프 군에 대한 결과를 다항성장이 있는 더 넓은 범주의 군들과 $V \in RH_q$ 조건으로 일반화하는 것.
• 가중 소볼레프 공간에서의 $L^p$ 추정을 위해 최대부등식, 캘러존드-지그문트 이론 및 복소 보간을 통합한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 함수 $\Delta u$ 및 $Vu$의 $L^p$ 노름에서의 저차항을 제어하기 위해 개선된 페퍼만-포잉 부등식을 사용한다.
• 함수를 분해하고 리프스 변환에 대한 약한 유형 $(1,1)$ 유계성을 추정하기 위해 캘러존드-지그문트 분해를 적용한다.
• 보간 기법을 통해 $L^2$와 약한 유형 $(1,1)$ 추정 사이에서 $1 < p < 2$에 대한 $L^p$ 유계성을 유도한다.
• 잠재력 $V \in RH_q$ 조건 하에서 $1 < p < q + \epsilon$ 범위에서 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)u\|_p$ 형태의 최대부등식을 사용한다.
• 다항성장이 있는 리 군에서 소볼레프 및 모르리 임베딩 정리를 적용하여 추정을 $p > 2$로 확장한다.
• 역 헬더 클래스의 자가개선 성질과 이러한 군에서 $\nabla(-\Delta)^{-1/2}$ 연산자가 $1 < p < \infty$ 에서 $L^p$에 유계임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만다이언 군에서 $p > 2$에 대해 리프스 변환 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ 가 $L^p$에서 유계임을 보장하는 기하학적 및 잠재력 조건은 무엇인가?
• RQ2 잠재력 $V \in RH_q$ 조건 하에서 $\|\nabla u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 가 성립하는 최적의 $p$ 범위는 무엇인가?
• RQ3 다항성장이 있는 리 군의 무한대에서의 차원 $D$ 는 $p > 2$에 대한 리프스 변환의 $L^p$ 유계성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 보간 및 분해 기법을 사용하여 $p=2$를 초월해 $\|\nabla u\|_p$ 및 $\|V^{1/2}u\|_p$ 에 대한 $L^p$ 추정을 확장할 수 있는가?
• RQ5 잠재력 $V \in RH_q$ 조건은 리프스 변환에 대한 $L^p$ 유계성의 자가개선에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이중성 성질 $(D)$ 와 피카르레 부등식 $(P_2)$ 를 만족하는 완전한 리만다이언 군에서 $V \in RH_q$ 이면, $1 < p < q + \epsilon$ 범위에서 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)u\|_p$ 가 성립하며, 여기서 $\epsilon > 0$ 은 $V$ 에 따라 달라진다.
• 리프스 변환 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ 는 $1 < p < \inf(p_0, 2(q + \epsilon))$ 범위에서 $L^p$ 에서 유계이며, 여기서 $p_0$ 는 $\nabla(-\Delta)^{-1/2}$ 가 $L^p$-유계임을 보장하는 $p$ 의 상한이다.
• 다항성장이 있는 리 군에서 $V \in RH_q$ 이고 $q \geq D$ 이면, $1 < p < \infty$ 전역에서 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ 의 $L^p$ 유계성이 성립한다.
• 다항성장이 있는 리 군에서 $\frac{D}{2} < q < D$ 이면, $1 < p < q_D^* + \epsilon$ 범위에서 $L^p$ 유계성이 성립하며, 여기서 $q_D^* = \frac{Dq}{D - q}$ 이다.
• 동일한 조건 하에서 $\|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 는 $1 < p < 2(q + \epsilon)$ 범위에서 성립한다.
• 이 결과들은 리 군에서의 다항성장 조건 하에서 기존 리[38]의 연구를 일반화하며, $q \geq \frac{D}{2}$ 조건을 제거하고 보간 및 분해 기법을 통해 정확한 범위를 확립한다.