[논문 리뷰] $L^{p}$ compactness criteria with an application to variational convergence of some nonlocal energy functionals

Qiang Du, Tadele Mengesha외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 24.

Numerical methods in engineering참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적이고 비원형 대칭성의 상호작용 커널로 정의된 비국소 에너지 공간에서 벡터장에 대한 $L^p$ 컴팩트성 기준을 수립한다. 방향 차분을 기반으로 한 비국소 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 유형의 기준을 도입함으로써, 유계 수열에 대해 $L^p$에서 사전컴팩트성을 증명하며, 이는 페리다이내믹스 및 관련 모델에서 비국소 에너지 함수의 변분 수렴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Motivated by some variational problems from a nonlocal model of mechanics, this work presents a set of sufficient conditions that guarantee a compact inclusion in the function space of $L^{p}$ vector fields defined on a domain $Ω$ that is either a bounded domain in $\mathbb{R}^{d}$ or $\mathbb{R}^{d}$ itself. The criteria are nonlocal and are given with respect to nonlocal interaction kernels that may not be necessarily radially symmetric. Moreover, these criteria for vector fields are also different from those given for scalar fields in that the conditions are based on nonlocal interactions involving only parts of the components of the vector fields. The $L^{p}$ compactness criteria are utilized in demonstrating the convergence of minimizers of parametrized nonlocal energy functionals.

연구 동기 및 목표

• 비원형, 비국소 상호작용 커널을 가진 비국소 에너지 공간에서의 벡터장에 대한 $L^p$ 컴팩트성에 대한 충분조건을 개발하기 위해.
• 커널이 원형 대칭이 아니거나 원점에서 적분 가능하지 않은 경우 $L^p$에서 비국소 시스템에 대한 컴팩트성 기준의 부재를 해결하기 위해.
• 기계공학 및 재료 과학 분야에서 비국소 에너지 함수의 매개변수화된 변분 수렴을 증명하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 클래식한 컴팩트성 이론(예: Riesz-Fréchet-Kolmogorov)을 페리다이내믹스에 관련된 비국소적이고 비대칭적인 설정으로 확장하기 위해.
• 비국소 에너지 수렴과 $L^p$에서 최소화자의 강한 수렴 사이의 다리를 놓기 위해

제안 방법

• 벡터 방향을 따라의 상대 변형을 측정하는 방향 차분 $\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{x}')$를 기반으로 한 비국소 세미노름 $|\mathbf{u}|_{\mathcal{S}_{\rho,p}}$를 도입한다.
• 커널 가중 $L^p$ 세미노름을 $\Omega \times \Omega$ 위에서 $\rho(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \cdot |\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{y})|^p$를 포함하도록 정의한다.
• $\Gamma^\delta(\mathbf{z}) = \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}\chi_{\complement B_\delta}(\mathbf{z})$에서 유도된 일련의 항등원 근사 커널 $\mathbb{G}^\delta$를 구성하며, 이를 행렬값이고 원형 대칭이 되도록 정규화한다.
• Riesz-Fréchet-Kolmogorov 정리의 변종을 적용하여, $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p} \to 0$ 이며 $\delta \to 0$일 때 $n$에 대해 균일하다면, $\{\mathbf{u}_n\}$이 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$에서 사전컴팩트임을 보인다.
• 근사 오차를 제어하기 위해, 조건 (A.1) 하에서 $\|\Gamma^\delta\|_{L^1} \to \infty$ 이므로, 추정식 $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p}^p \leq C d^p / \|\Gamma^\delta\|_{L^1}$을 사용한다.
• 비국소 에너지 공간 $\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$에서의 유계성은 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}$가 원점 근처에서 비적분 가능함을 가정하는 조건 (A.1) 하에, 임의의 유계 열린 집합 $D$에 대해 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$에서 사전컴팩트성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 커널 $\rho$가 어떤 조건을 만족할 경우, $\mathcal{S}_{\rho,p}(\Omega) \hookrightarrow L^p(D;\mathbb{R}^d)$의 임베딩이 유계 도메인 $D$에서 사전컴팩트가 되는가?
• RQ2 커널 $\rho$가 원형 대칭이 아닐 경우, 비국소 벡터장에 대해 $L^p$에서 컴팩트성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 클래식한 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 컴팩트성 기준은 비국소적이고 비대칭적인 상호작용 연산자로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 비국소 에너지 공간에서 컴팩트성을 특성화하는 데 있어 방향 차분 연산자 $\mathscr{D}(\mathbf{u})(\mathbf{x},\mathbf{x}')$의 역할은 무엇인가?
• RQ5 비국소 에너지 공간 $\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$에서의 유계성이 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}$에 대한 약한 적분 가능성 가정 하에 $L^p$ 사전컴팩트성을 암시하는가?

주요 결과

• 논문은 $\rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p} \notin L^1(B_1(0))$ 이면, $\mathcal{S}_{\rho,p}(\mathbb{R}^d)$에서 유계 수열이 임의의 유계 열린 집합 $D$에 대해 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$에서 사전컴팩트임을 수립한다.
• 커널 $\rho$가 원형 대칭이 아니어도 컴팩트성 기준이 성립함을 보여, 이전 결과가 원형 커널에 국한된 것을 확장한다.
• 핵심 조건 (A.1) — $\int_{B_1(0)} \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p} d\mathbf{z} = \infty$ — 는 비국소 Riesz-Fréchet-Kolmogorov 유형의 컴팩트성이 성립하기 위해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 증명은 $\Gamma^\delta = \rho(\mathbf{z})|\mathbf{z}|^{-p}\chi_{\complement B_\delta}$에서 유도된 $\mathbb{G}^\delta$의 일련의 항등원 근사 커널을 구성하며, 이들이 필요한 수렴 성질을 만족함을 보였다.
• 추정식 $\|\mathbf{u}_n - \mathbb{G}^\delta * \mathbf{u}_n\|_{L^p}^p \leq C d^p / \|\Gamma^\delta\|_{L^1}$은 $\delta \to 0$일 때 균일하게 0으로 수렴함을 보장하여, 레퍼런스 A.2의 적용이 가능하게 한다.
• 결과적으로, 제시된 커널 조건 하에서 매개변수화된 비국소 에너지 함수의 최소화자 $W_\rho(\mathbf{u})$는 $L^p(D;\mathbb{R}^d)$에서 강한 수렴을 보이며, 이는 변분 수렴을 확립한다.