[논문 리뷰] $L_p$-discrepancy and beyond of higher order digital sequences

Josef Dick, Aicke Hinrichs외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 27.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이진 필드 위에서 순서 2 디지털 $(t,d)$-시퀀스에 대해 $L_p$-불일치의 최적성을 확립하며, 모든 $p \in (1,\infty)$ 에서 가능한 최고의 순서를 달성함을 증명하고, 이들의 불일치 노름이 유계 평균 진동 공간, 지수 오르리츠 공간, 베소프 공간 및 트리벨-리조르킨 공간에서 최적임을 추가로 보여준다.

ABSTRACT

The $L_p$-discrepancy is a quantitative measure for the irregularity of distribution modulo one of infinite sequences. In 1986 Proinov proved for all $p>1$ a lower bound for the $L_p$-discrepancy of general infinite sequences in the $d$-dimensional unit cube, but it remained an open question whether this lower bound is best possible in the order of magnitude until recently. In 2014 Dick and Pillichshammer gave a first construction of an infinite sequence whose order of $L_2$-discrepancy matches the lower bound of Proinov. Here we give a complete solution to this problem for all finite $p > 1$. We consider so-called order $2$ digital $(t,d)$-sequences over the finite field with two elements and show that such sequences achieve the optimal order of $L_p$-discrepancy simultaneously for all $p \in (1,\infty)$. Beyond this result, we estimate the norm of the discrepancy function of those sequences also in the space of bounded mean oscillation, exponential Orlicz spaces, Besov and Triebel-Lizorkin spaces and give some corresponding lower bounds which show that the obtained upper bounds are optimal in the order of magnitude.

연구 동기 및 목표

• Proinov의 $L_p$-불일치 하한이 모든 $p > 1$ 에서 순서의 크기 측면에서 날카로운지에 대한 이해의 격차를 메우기 위해.
• 모든 $p \in (1,\infty)$ 에서 최적의 $L_p$-불일치 순서를 同시로 달성하는 시퀀스를 구성하여 오랜 기간 동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• $L_p$ 공간을 넘어서 유계 평균 진동, 지수 오르리츠, 베소프 및 트리벨-리조르킨 공간과 같은 다양한 함수 공간으로 불일치 노름 분석을 확장하기 위해.
• 이들 함수 공간에서 상하한이 일치하도록 하한을 도출하여, 확보된 상한의 최적성이 확인되도록 하기 위해.

제안 방법

• 고차원 균일 분포에서 낮은 불일치를 보장하기 위해 유한체 $\mathbb{F}_2$ 위에서 순서 2 디지털 $(t,d)$-시퀀스를 구성하기 위해.
• 조화 분석 및 함수 공간 이론의 고급 도구를 사용하여 $L_p$, BMO, 오르리츠, 베소프 및 트리벨-리조르킨 공간에서 불일치 함수의 노름을 추정하기 위해.
• 디지털 넷 및 시퀀스 이론을 적용하여 시퀀스 매개변수와 차원에 따라 불일치에 대한 명시적 상한을 유도하기 위해.
• 시퀀스의 구조와 기초 함수 공간의 성질을 활용하여 불일치 노름에 대한 날카로운 상한을 확립하기 위해.
• 각 함수 공간에서 상한과 일치하는 하한을 유도하여 상한이 순서의 크기 측면에서 최적임을 확인하기 위해.
• 쌍대성 및 보간 기법을 사용하여 다양한 함수 공간 간의 불일치 행동을 연결하고, 최적성의 일관성을 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Proinov의 일반 시퀀스에 대한 $L_p$-불일치 하한이 모든 $p > 1$ 에서 순서의 크기 측면에서 날카로운가?
• RQ2 단일 시퀀스 구성이 모든 $p \in (1,\infty)$ 에서 동시에 최적의 $L_p$-불일치 순서를 달성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 시퀀스의 불일치 노름이 $L_p$ 공간 이외의 함수 공간, 예를 들어 BMO 및 지수 오르리츠 공간에서 최적인가?
• RQ4 베소프 및 트리벨-리조르킨 공간에서 불일치 노름에 대한 상한이 기존의 하한과 순서의 크기 측면에서 일치하는가?
• RQ5 다양한 함수 공간 척도에 걸쳐 불일치 행동의 최적성이 균일하게 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 이진 필드 $\mathbb{F}_2$ 위에서 순서 2 디지털 $(t,d)$-시퀀스는 모든 $p \in (1,\infty)$ 에서 최적의 $L_p$-불일치 순서를 달성하며, 오랜 기간 동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 이러한 시퀀스의 불일치 함수는 유계 평균 진동(BMO) 공간에서 순서의 크기 측면에서 최적의 노름을 가진다.
• 지수 오르리츠 공간에서 불일치 노름에 대한 상한이 날카로운 것으로 입증되었으며, 기존의 하한과 일치한다.
• 베소프 및 트리벨-리조르킨 공간에서 불일치 노름에 대한 상한은 일치하는 하한을 통해 순서의 크기 측면에서 최적임이 확인된다.
• 이 구성은 모든 $L_p$ 공간과 여러 함수 공간 척도에서 동시에 최적의 불일치 행동을 달성하며, 강건성과 일반성을 보여준다.