[논문 리뷰] $L^p$ estimates for fully coupled FBSDEs with jumps

Juan Li, Qingmeng Wei|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 05.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단조성 조건과 작은 리프시츠 조건 하에서 점프를 포함한 완전히 결합된 후행-전행 확률미분방정식(FBSDEs)에 대한 $L^p$-추정을 수립하며, 잘 정의됨(well-posedness)을 증명하고 짧은 시간 간격에서 핵심적인 $L^p$ 경계를 도출한다. 이 결과들은 브라운 운동에 의해 구동되는 FBSDEs에 대한 이전 연구를 확장하며, 점프를 포함한 확률적 제어 이론과 미분게임에 있어 핵심적인 역할을 한다.

ABSTRACT

In this paper we study useful estimates, in particular $L^p$-estimates, for fully coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs) with jumps. These estimates are proved at one hand for fully coupled FBSDEs with jumps under the monotonicity assumption for arbitrary time intervals and on the other hand for such equations on small time intervals. Moreover, the well-posedness of this kind of equation is studied and regularity results are obtained.

연구 동기 및 목표

• 임의의 시간 간격에서 단조성 조건 하에서 점프를 포함한 완전히 결합된 FBSDEs에 대한 $L^p$-추정을 도출하는 것.
• 확산 및 점프 계수에 대한 작은 리프시츠 조건 하에서 짧은 시간 간격에서 해의 존재성과 유일성을 보장하는 잘 정의됨의 수립.
• 완전히 결합된 FBSDEs에 대한 비교정리의 일반화와 확률적 미분게임 및 이사크스 타입의 PDE에 필수적인 추정의 제공.
• 기존의 브라운 운동에 의해 구동되는 FBSDEs에 대한 $L^p$-추정을 점프-확산 사례로 확장하며, 특히 점프 마팅갈 성분을 다루는 데 중점을 둔다.

제안 방법

• 점프 마팅갈 성분에 특히 초점을 맞춘 새로운 방법을 사용하여 $L^p$-추정을 증명하는 데 사용되며, 특히 추정식 (3.11)과 (3.15)를 활용한다.
• 완전히 결합된 FBSDEs에 대한 $L^2$ 및 $L^p$ 추정을 도출하기 위해 단조성 조건을 적용한다.
• 리프시츠 상수 $\sigma$, $h$가 $z$, $k$에 대해 충분히 작아서 잘 정의됨을 보장할 수 있는 짧은 시간 간격 프레임워크를 도입한다.
• 최종 조건을 0으로 줄이기 위해 변환을 도입하여, 변환된 시스템에 대해 정리 3.4를 적용할 수 있도록 한다.
• 사전 경계와 수축 원리를 활용하여 짧은 간격에서 일반화된 비교정리와 $L^p$-추정을 유도한다.
• 특히 점프 적분과 보정된 포아송 측도를 다룰 때 조건부 기대와 이토의 공식을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단조성 조건 하에서 점프를 포함한 완전히 결합된 FBSDEs에 대한 $L^p$-추정은 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건이 이러한 FBSDEs에 대해 짧은 시간 간격에서 해의 존재성과 유일성을 보장하는가?
• RQ3 점프 성분은 확산 성분만을 포함한 경우와 비교해 $L^p$-추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 작은 리프시츠 조건 하에서 완전히 결합된 FBSDEs에 대한 비교정리는 일반화될 수 있는가?
• RQ5 점프 마팅갈 성분은 해 성분의 $L^p$-경계를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 단조성 조건 하에서 점프를 포함한 완전히 결합된 FBSDEs에 대한 $L^p$-추정을 증명하며, 특히 점프 마팅갈 성분에 대한 핵심 추정식 (3.11)과 (3.15)을 제공한다.
• 충분히 작은 시간 간격 $\delta$에 대해, 리프시츠 상수 $L_\sigma$와 $L_h$가 $C_p L_\sigma^p < 1$ 조건을 만족할 경우 FBSDE의 잘 정의됨이 확립된다.
• 짧은 간격에서의 $L^p$-추정은 다음과 같이 도출된다: $E[(\int_t^{t+\delta}|Z_r^{t,\zeta}|^2 dr)^{p/2} | \mathcal{F}_t] + E[(\int_t^{t+\delta} \int_E |\widetilde{K}_r^{t,\zeta}(e)|^2 \mu(drde))^{p/2} | \mathcal{F}_t] \leq C_p \delta^{p/2}(1 + |\zeta|^p)$.
• 작은 리프시츠 조건 하에서 일반화된 비교정리(정리 3.3)가 수립되어 서로 다른 계수를 가진 해의 비교가 가능해진다.
• 최종 조건 $\Phi$가 랜덤일 경우에도 결과는 그대로 유지되며, 초기 상태 $\zeta \in L^2(\Omega, \mathcal{F}_t, P; \mathbb{R}^n)$에 대해 추정은 균일하게 성립한다.
• 핵심 추정식 $E[(\int_t^{t+\delta} \int_E |K_r^{t,\zeta}(e)|^2 \lambda(de)dr)^{p/2} | \mathcal{F}_t] \leq C_p \delta^{p/2}(1 + |\zeta|^p)$가 도출되어 점프 성분의 안정성이 확인된다.