[논문 리뷰] L p -estimates for the heat semigroup on differential forms, and related problems

Jocelyn Magniez, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 26인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 체적 두배 조건과 가우스형 열핵 추정을 만족하는 완전하고 비유한 케이지안 다양체 위의 미분 $k$-형식에 대한 열 반군의 $L^p$-추정을 수립한다. 음의 곡률 연산자의 부분이 확장된 카토 클래스에 속해 있다는 가정 하에, 큰 $t$에 대해 반군의 $L^p$ 연산자 노름이 $(t\log t)^{D(1-2/p)/4}$ 정도로만 증가함을 증명한다. 더 강한 비임계성 조건 하에서는 개선된 추정을 얻을 수 있다. 이러한 결과들은 기울기 추정과 리프스 변환의 유계성 간의 연결성도 제공한다.

ABSTRACT

We consider a complete non-compact Riemannian manifold satisfying the volume doubling property and a Gaussian upper bound for its heat kernel (on functions). Let -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k be the Hodge-de Rham Laplacian on differential k-forms with k $\\ge$ 1. By the Bochner decomposition formula -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k = * + R k. Under the assumption that the negative part R -- k is in an enlarged Kato class, we prove that for all p $\\in$ [1, $\\infty$], e --t -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k p--p $\\le$ C(t log t) D 4 (1-- 2 p) (for large t). This estimate can be improved if R -- k is strongly sub-critical. In general, (e --t -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k) t>0 is not uniformly bounded on L p for any p = 2. We also prove the gradient estimate e --t$\\Delta$ p--p $\\le$ Ct -- 1 p , where $\\Delta$ is the Laplace-Beltrami operator (acting on functions). Finally we discuss heat kernel bounds on forms and the Riesz transform on L p for p > 2.

연구 동기 및 목표

• 비유한 리만다이내닉 다양체 위의 미분 $k$-형식에 대한 열 반군 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 에 대한 $L^p$-유계성을 수립하기 위해.
• 시간 매개변수 $t$와 지수 $p$에 대한 $L^p$ 연산자 노름의 의존성, 특히 $p \neq 2$ 인 경우를 조사하기 위해.
• 특히 리치 곡률의 음의 부분이 반군의 $L^p$ 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는지 명확히 하기 위해.
• 열 반군의 $L^p$-유계성과 $p > 2$ 인 경우 $L^p(M)$ 상에서 리프스 변환의 유계성 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 함수에 대한 라플라스-벨트라미 반군에 대한 기울기 추정을 유도하기 위해.

제안 방법

• 보처 공식을 활용하여 호지-드라함 라플라스 연산자를 $\overrightarrow{\Delta}_k = \nabla^*\nabla + R_k$ 로 분해하고, $R_k$ 를 포텐셜로 간주하기 위해.
• 확장된 카토 클래스 $\hat{K}$ 를 통한 도미네이션 원리 적용을 통해 음의 곡률 부분 $R_k^-$ 를 제어하기 위해.
• 반군 도미네이션과 체적 두배 조건을 이용하여 형식에 대한 가우스형 열핵 추정을 수립하기 위해.
• 데이비스-가프니 추정과 보간 기법을 활용하여 $L^2$-유계성과 $L^{\tilde{p}_0}$-유계성에서 $L^p$-유계성을 도출하기 위해.
• 비대칭 추정과 하디 공간 이론을 활용하여 반군 행동과 리프스 변환의 유계성 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 반군 성질과 스케일링 추론을 활용하여 $t$와 $\log t$ 에 따라 변화하는 시간 의존적 성장 추정을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 기하학적 및 분석적 조건 하에서 열 반군 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 는 $p \neq 2$ 인 경우 $L^p(\Lambda^k T^*M)$ 에서 유니폼하게 유계가 되는가?
• RQ2 곡률 연산자의 음의 부분 $R_k^-$ 는 $k$-형식에 대한 열 반군의 $L^p$-연산자 노름에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 곡률 및 카토 클래스 조건 하에서 큰 $t$ 에 대해 $\|e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}\|_{p-p}$ 의 정확한 시간 의존적 성장률은 무엇인가?
• RQ4 $k$-형식에 대한 열 반군의 $L^p$-유계성은 $p > 2$ 인 경우 $L^p(M)$ 상에서 리프스 변환의 유계성과 어느 정도 관련이 있는가?
• RQ5 동일한 조건 하에서 $\|\nabla e^{-t\Delta}\|_{p-p}$ 에 대한 기울기 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 체적 두배 조건과 가우스형 열핵 추정 조건 하에서, $p \in [1,\infty]$ 에 대해 큰 $t$ 에 대해 $\|e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}\|_{p-p} \leq C(t\log t)^{D(1-2/p)/4}$ 를 만족한다.
• 만약 $R_k^-$ 가 강한 비임계성을 만족한다면, 일반적인 $L^p$-유계성보다 더 개선된 성장 추정을 얻을 수 있다.
• 일반적으로는 체적 두배 조건과 열핵 추정 조건이 만족되더라도, $p \neq 2$ 인 경우 반군 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ 는 $L^p$ 에서 유니폼하게 유계가 아니다.
• 동일한 기하학적 조건 하에서 모든 $p \in [1,\infty]$ 에 대해 $\|\nabla e^{-t\Delta}\|_{p-p} \leq C t^{-1/p}$ 인 기울기 추정이 성립한다.
• 열 반군이 $1$-형식에서 $L^p(\Lambda^1 T^*M)$ 에서 유니폼하게 유계이면, 리프스 변환 $d\Delta^{-1/2}$ 는 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 $L^p(M)$ 에서 유계이다.
• 반군 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}}$ 에 대한 비대칭 추정은 하드이 공간 $H^r_{\overrightarrow{\Delta}}$ 와 $L^r$ 이 $r \in (\min(p,p'),2]$ 에 대해 동치임을 의미하며, 반군 행동과 함수 공간 이론 간의 연결 고리를 제공한다.