[논문 리뷰] $L^p$-Fourier and Fourier-Stieltjes algebras for locally compact groups

Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 09.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 군 $G$에 대해 $L^p$-푸리에 및 푸리에-스틸티jes 대수 $A_{L^p}(G)$와 $B_{L^p}(G)$를 도입하고 연구한다. 이는 단위 표현의 $L^p$-행렬 계수를 통해 고전적 푸리에 대수를 일반화한 것이다. 주요 기여는 $SL(2,\mathbb{R})$의 푸리에-스틸티제 이상을 정확히 $p \in [2,\infty)$에 대해 $B_{L^p}(G)$로 특성화한 것으로, 이 대수들이 각각의 $p$에 대해 서로 다름을 보이며 군에 대한 완전한 불변량을 이룬다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and $1\leq p

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴팩트한 군에 대해 $L^p$-푸리에 및 푸리에-스틸티제 대수를 도입함으로써 푸리에 대수 이론을 확장한다.
• $A_{L^p}(G)$와 $B_{L^p}(G)$의 구조적 성질이 기저 군 $G$에 어떻게 반영되는지 조사한다.
• $L^p$-표현을 통해 $SL(2,\mathbb{R})$의 푸리에-스틸티제 이상을 특성화한다.
• $SL(2,\mathbb{R})$에서 $B_{L^p}(G)$가 각 $p \in [2,\infty)$에 대해 서로 다름을 보인다.

제안 방법

• Hilbert 공간의 밀도 있는 벡터 집합에 대해 행렬 계수가 $G$에서 $L^p$에 속하는 단위 표현을 $L^p$-표현으로 정의한다.
• $L^p$-표현의 행렬 계수들로 구성된 공간으로서 $A_{L^p}(G)$를 정의하고, $B(G)$에서의 약한*폐포로서 $B_{L^p}(G)$를 구성한다.
• 단위 표현의 펠 토폴로지와 약한 포함 성질을 이용하여 $B_{L^p}(G)$의 구조를 분석한다.
• 코윙-하아거우프-하우 정리를 적용하여 모의 이산 계열과 주요 계열이 $L^{2+\epsilon}$-표현임을 보인다.
• 푸카니츠키의 보완 계열 표현에 대한 텐서곱 정리를 활용하여 약한 포함과 $p$-의존성 간의 관계를 규명한다.
• 펠의 흠숭원리와 유도 표현의 구조를 이용하여 $B(G)$ 내 이상을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 국소적으로 컴팩트한 군이 $[2,\infty)$의 각 $p$에 대해 서로 다른 $L^p$-푸리에-스틸티제 대수를 갖는가?
• RQ2 $SL(2,\mathbb{R})$의 푸리에-스틸티제 이상은 $L^p$-표현을 통해 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ3 보완 계열 표현 $\pi_r$가 $SL(2,\mathbb{R})$의 $L^p$-표현에 약하게 포함되려면 어떤 $p$에 대해 성립하는가?
• RQ4 $B_{L^p}(G)$와 $C^*_{L^p}(G)$는 $SL(2,\mathbb{R})$에 대해 완전한 불변량인가?
• RQ5 비아메니블리 또는 비컴팩트 군은 고전적 푸리에 대수보다 $L^p$-푸리에-스틸티제 대수에서 더 rich한 구조를 보이는가?

주요 결과

• $SL(2,\mathbb{R})$의 $L^p$-푸리에-스틸티제 대수 $B_{L^p}(SL(2,\mathbb{R}))$는 $[2,\infty)$의 모든 $p$에 대해 서로 다름을 보인다.
• $L^p$-푸리에 대수 $A_{L^p}(G)$는 $SL(2,\mathbb{R})$에 대해 완전한 불변량이며, $A_{L^p}(G) = A_{L^q}(G)$이기 위한 필요충분조건은 $p = q$임을 의미한다.
• 보완 계열 표현 $\pi_r$는 $r \in [2/p - 1, 0)$일 때에만 $L^p$-표현에 약하게 포함된다.
• $SL(2,\mathbb{R})$의 비자명한 모든 푸리에-스틸티제 이상은 전체 대수 $B(G)$ 또는 어떤 $p \in [2,\infty)$에 대해 $B_{L^p}(G)$이다.
• $SL(2,\mathbb{R})$의 $C^*$-대수 $C^*_{L^p}(SL(2,\mathbb{R}))$는 $[2,\infty)$의 각 $p$에 대해 서로 다름을 보이며, 오케이아수의 결과를 $SL(2,\mathbb{R})$로 확장한다.
• 자유군 $\mathbb{F}_\infty$는 $B_{L^p}(\mathbb{F}_\infty)$의 형태가 아닌 연속기수의 푸리에-스틸티제 이상을 갖는다. 이는 특성화 결과가 $SL(2,\mathbb{R})$에 특화되어 있음을 보여준다.