[논문 리뷰] L^p-L^p' Estimates for the Nonlinear Schroedinger Equation on the Line and Inverse Scattering for the Nonlinear Schroedinger Equation with a Potential

Ricardo Weder|arXiv (Cornell University)|1998. 06. 12.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 L^1_\gamma에 속하는 잠재력이 있는 1차원 비선형 슈뢰딩거 방정식의 해에 대해 L^p–L^p' 추정을 수립하며, 산산각의 산란 연산자의 저에너지 극한이 잠재력과 비선형성을 유일하게 결정함을 증명한다. 이러한 추정을 바탕으로 저자께서는 산란 연산자를 구성하고, γ > 3/2 조건(또는 영에너지 반결합 상태가 존재하는 특수한 경우에 대해 γ > 5/2) 하에서 잠재력과 비선형성을 역산란 이론을 통해 재구성하는 방법을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper I prove a L^p-L^p' estimate for the solutions of the one-dimensional Schroedinger equation with a potential in L^1_gamma where in the generic case gamma > 3/2 and in the exceptional case (i.e. when there is a half-bound state of zero energy) gamma > 5/2. I use this estimate to construct the scattering operator for the nonlinear Schroedinger equation with a potential. I prove moreover, that the low-energy limit of the scattering operator uniquely determines the potential and the nonlinearity using a method that allows as well for the reconstruction of the potential and of the nonlinearity.

연구 동기 및 목표

• L^1_\gamma에 속하는 잠재력이 있는 1차원 슈뢰딩거 방정식의 해에 대해 L^p–L^p' 추정을 수립하는 것.
• 이러한 추정을 사용하여 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 산란 연산자를 구성하는 것.
• 산란 연산자의 저에너지 극한이 잠재력과 비선형성을 유일하게 결정함을 증명하는 것.
• 산란 데이터로부터 잠재력과 비선형성을 재구성하는 방법을 개발하는 것.
• 특히 영에너지 반결합 상태가 존재하는 경우를 고려하여, 잠재력이 있는 비선형 경우로의 역산란 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• L^1_\gamma에 속하는 잠재력이 있는 선형화된 슈뢰딩거 방정식에 대해 L^p–L^p' 추정을 유도하며, 일반적인 경우에선 \gamma > 3/2, 영에너지 반결합 상태가 존재하는 특수한 경우에선 \gamma > 5/2 가 필요하다.
• 비선형성을 산란 프레임워크 내에서 교란으로 간주함으로써 이러한 추정을 비선형 슈뢰딩거 방정식에 적용한다.
• 저에너지 극한의 산란 연산자로부터 잠재력과 비선형성을 재구성하기 위해 역산란 방법을 활용한다.
• 저에너지에서의 해의 행동을 분석하기 위해 조스트 해와 산란 행렬을 사용한다.
• 산란 연산자의 저에너지 영역에서의 구조를 분석하여 잠재력과 비선형성에 대한 정보를 추출한다.
• 에너지가 0에 접근함에 따라 산란 데이터의 점근적 행동을 통해 유일성과 재구성 가능성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L^1_\gamma에 속하는 잠재력이 있는 1차원 슈뢰딩거 방정식에 대해 L^p–L^p' 추정을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 영에너지 반결합 상태가 존재하는 상황에서 이러한 추정의 타당성을 보장하기 위한 \gamma의 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 추정을 사용하여 잠재력이 있는 비선형 슈뢰딩거 방정식의 산란 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 산란 연산자의 저에너지 극한이 잠재력과 비선형성을 유일하게 결정하는가?
• RQ5 저에너지 극한을 활용하여 산란 데이터로부터 잠재력과 비선형성을 재구성하는 것이 가능한가?

주요 결과

• L^1_\gamma에 속하는 잠재력이 있는 1차원 슈뢰딩거 방정식에 대해 L^p–L^p' 추정이 수립되었으며, 일반적인 경우에선 \gamma > 3/2에서 유효하다.
• 영에너지 반결합 상태가 존재하는 특수한 경우에선 추정은 \gamma > 5/2에서 유효하다.
• 유도된 L^p–L^p' 추정을 사용하여 잠재력이 있는 비선형 슈뢰딩거 방정식의 산란 연산자가 구성되었다.
• 산란 연산자의 저에너지 극한이 잠재력과 비선형성을 유일하게 결정한다.
• 산란 데이터로부터 잠재력과 비선형성을 복원할 수 있는 재구성 방법이 제시되었다.
• 결과는 『Functional Analysis』 저널(제170권, 2000년, 37–68쪽)에 게재되어 이론적 프레임워크의 타당성을 확인한다.