[논문 리뷰] $L^p$-$L^q$ boundedness of pseudo-differential operators on smooth manifolds and its applications to nonlinear equations

Duván Cardona, Vishvesh Kumar외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 11.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 다변량에서의 전역 푸리에 해석을 이용하여 전역 피시코-디퍼렌셜 연산자의 $L^p$-$L^q$ 유계성 기준을 수립하고, 고전적인 Hörmander-Mihlin 및 Paley 유형 조건을 비유클리드 환경으로 확장한다. 다변량에서 Hausdorff-Young-Paley 및 Paley 부등식을 증명하고, 이를 이용해 소규모 초기 자료 조건 하에서 비선형 PDE, 예를 들어 비선형 파동, 열, 정적 방정식의 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we study the boundedness of global pseudo-differential operators on smooth manifolds. By using the notion of global symbol we extend a classical condition of Hörmander type to guarantee the $L^p$-$L^q$-boundedness of global operators. First we investigate $L^p$-boundedness of pseudo-differential operators in view of the Hörmander-Mihlin condition. We also prove $L^\infty$-$BMO$ estimates for pseudo-differential operators. Later, we concentrate our investigation to settle $L^p$-$L^q$ boundedness of the Fourier multipliers and pseudo-differential operators for the range $1

연구 동기 및 목표

• 고전적인 $L^p$-유계성 조건, 예를 들어 Hörmander-Mihlin 및 Paley 유형 조건을 전역 푸리에 해석을 이용하여 매끄러운 다변량 환경으로 확장한다.
• 스펙트럼이 이산인 다변량에서 피시코-디퍼렌셜 연산자에 대한 전역 기호 계산법을 개발하여 유클리드 외 환경에서도 유계성 결과를 도출할 수 있도록 한다.
• 다변량에서 $L^p$와 $L^q$ 추정 간의 다리를 놓기 위해 다변량에서의 새로운 부등식—Hausdorff-Young-Paley 및 Paley—을 증명한다.
• 유계성 정리를 비선형 PDE에 적용하여 비선형 파동, 열, 정적 방정식 등의 국소 적으로 잘 정의된 해를 확립한다.

제안 방법

• 스펙트럼이 이산이고 $L^2(\overline{M})$에서 Riesz 기저를 이루는 고유함수를 가진 매끄러운 다변량 $\overline{M}$ 위의 모델 연산자 $L$을 도입하여 전역 푸리에 해석을 정의한다.
• Hörmander-Mihlin 조건을 다변량으로 일반화한 전역 기호 조건을 도입하여 피시코-디퍼렌셜 연산자의 $L^p$-유계성을 보장한다.
• 다변량에서의 Hausdorff-Young-Paley 부등식을 증명한다: $\left(\int |\mathscr{F}f(\xi)\phi(\xi)^{1/r - 1/p'}|^{r} d\xi\right)^{1/r} \leq \|f\|_{L^p}$, $1<p\leq r\leq p'\leq\infty$.
• Paley 유형 부등식을 유도한다: $M_\phi = \sup_{t>0} t \cdot |\{\xi: \phi(\xi) \geq t\}| < \infty$, 이는 다변량에서 푸리에 변환의 성장률을 스펙트럼적 관점에서 통제한다.
• 보간법과 쌍대성 원리를 적용하여 $1<p\leq 2\leq q<\infty$에 대해 조건 $\sup_{t>0} t^b \cdot |\{\xi: m(\xi)\geq t\}| < \infty$ 및 $\frac{1}{p}-\frac{1}{q} = \frac{1}{b}$ 하에서 $L^p$-$L^q$ 유계성을 도출한다.
• 소규모 초기 자료 조건 하에서 $L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$에서의 고정점 방법을 사용하여 비선형 PDE의 국소 적으로 잘 정의된 해를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 Hörmander-Mihlin 조건, 즉 푸리에 다항식의 $L^p$-유계성 조건을 매끄러운 다변량에서 피시코-디퍼렌셜 연산자로 확장할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 분해가 있는 비유클리드 다변량 환경에서 Paley 및 Hausdorff-Young-Paley 부등식의 적절한 유사 조건은 무엇인가?
• RQ3 스펙트럼이 이산인 다변량에서 $1<p\leq 2\leq q<\infty$에 대해 피시코-디퍼렌셜 연산자의 $L^p$-$L^q$ 유계성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 기호와 자료에 어떤 조건이 충족되면 파동, 열, 정적 방정식 등의 비선형 PDE가 다변량에서 국소 적으로 잘 정의된 해를 갖는가?
• RQ5 유계성 정리를 이용하여 비선형 진동 방정식의 해가 존재하고 유일한가? 특히 $L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$에서의 해에 대해.

주요 결과

• 논문은 다변량에서 기호에 대한 전역 Hörmander-Mihlin 조건을 만족할 경우 피시코-디퍼렌셜 연산자의 $L^p$-유계성을 수립하여 고전적 결과를 비콤팩트 및 비유클리드 환경으로 확장한다.
• 다변량에서의 Hausdorff-Young-Paley 부등식을 증명하여 보간법을 통해 $1<p\leq 2\leq q<\infty$에 대해 $L^p$-$L^q$ 유계성을 확보한다.
• Paley 유형 부등식이 다변량으로 일반화되어 푸리에 변환의 분포 함수를 스펙트럼적 관점에서 통제할 수 있다.
• 비선형 파동 방정식의 경우, 충분히 작은 초기 자료 $u_0, u_1$에 대해 $L^\infty(0,T^*;L^2(\overline{M}))$에서 국소 적으로 잘 정의된 해가 존재함을 증명한다. 여기서 $T^*$는 $\|u_0\|_{L^2}$ 및 $\|u_1\|_{L^2}$에 의존한다.
• 비선형 열 방정식의 경우, 초기 자료가 작을 경우 $L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$에서 존재하는 유일한 해를 보여준다. 여기서 $T$는 $u_0$의 $L^2$-노름과 $b$의 $L^2$-노름에 의존한다.
• 소규모 자료 조건 하에서 적절한 함수 공간의 구내에서 고정점 방법을 사용하여 비선형 정적 방정식에 대해 $L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$에서 해를 얻는다.