[논문 리뷰] $L^p$-maximal regularity of nonlocal parabolic equation and applications

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 분석과 페퍼만-스타인의 날카운 함수 정리의 응용을 통해 특이하고 비대칭적인 레비 연산자를 갖는 비국소 포아송 방정식에 대한 $L^p$-최대정규성(maximal regularity)을 확립한다. 유일한 강한 해 존재성과 베셀 힐버트 공간에서의 이러한 편미분 연산자의 정의역을 특성화하며, 이 이론을 응용하여 코시 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대한 크릴로프 추정(Krylov's estimate)과 임계 해밀턴-자코비 및 다차원 버거 방정식의 전역 적으로 잘 정의된 해를 도출한다.

ABSTRACT

By using Fourier's transform and Fefferman-Stein's theorem, we investigate the $L^p$-maximal regularity of nonlocal parabolic and elliptic equations with singular and non-symmetric Lévy operators, and obtain the unique strong solvability of the corresponding nonlocal parabolic and elliptic equations, where the probabilistic representation plays an important role. In particular, a characterization for the domain of pseudo-differential operators of Lévy type with singular kernels is given in terms of the Bessel potential spaces. As a byproduct, we show that a large class of non-symmetric Lévy operators generates an analytic semigroup in $L^p$-space. Moreover, as applications, we prove a Krylov's estimate for stochastic differential equation driven by Cauchy processes (i.e. critical diffusion processes), and also obtain the well-posedness to a class of quasi-linear first order parabolic equation with critical diffusion. In particular, critical Hamilton-Jacobi equation and multidimensional critical Burger's equation are uniquely solvable and the smooth solutions are obtained.

연구 동기 및 목표

• 일반적이고 특이적이며 비대칭적인 레비 연산자를 갖는 비국소 포아송 및 타원 방정식에 대한 $L^p$-정규성 이론을 개발하는 것.
• 특이 커널을 갖는 레비 유형의 편미분 연산자의 정의역을 베셀 힐버트 공간의 관점에서 특성화하는 것.
• 일반적인 $L^p$-적분 가능성 조건 하에서 비국소 포아송 방정식의 강한 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 크기가 큰 비대칭 레비 연산자들의 클래스가 $L^p$-공간에서 해석적 반군(analytic semigroup)을 생성하는지 확립하는 것.
• 정규성 이론을 응용하여 코시 과정에 의해 구동되는 SDE에 대한 크릴로프 추정을 도출하고, 임계 비선형 포아송 시스템에 대한 전역적인 잘 정의됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 비국소 방정식의 $L^p$-정규성을 분석하기 위해 푸리에 변환과 페퍼만-스타인의 날카운 함수 정리를 사용한다.
• 레비 점프를 갖는 확률과정과 해를 연결하기 위해 피曼-카프 공식을 통한 확률적 표현을 적용한다.
• 안정성 지수 $\alpha$를 기반으로 임계, 초임계, 초임계 영역을 분류하기 위해 척도 변환 기법을 활용한다.
• 특이 커널과 미분 가능하지 않은 계수를 다루기 위해 모이피어와 절단 기법을 활용한다.
• 등각 근사에서의 극한을 취하기 위해 베셀 힐버트 공간에서 그론발의 부등식과 컴actness 추론을 적용한다.
• 해밀턴-자코비 방정식을 기울기를 취하고 주요 정규성 결과를 결합된 시스템에 적용함으로써 포아송 시스템의 연립 방정식으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적이고 비대칭적인 레비 연산자와 특이 커널을 갖는 비국소 포아송 방정식에 대해 $L^p$-최대정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 특이 커널을 갖는 레비 유형의 편미분 연산자의 정의역이 베셀 힐버트 공간에서 정확히 어떻게 특성화되는가?
• RQ3 크기가 큰 비대칭 레비 연산자들의 클래스가 $L^p$-공간에서 해석적 반군을 생성하는가?
• RQ4 코시 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 크릴로프 추정을 임계 확산 상황으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 임계 해밀턴-자코비 방정식과 다차원 임계 버거 방정식은 부드러운 해를 유일하게 갖는가?

주요 결과

• 논문은 계수의 약한 적분 가능성 조건 하에서 특이하고 비대칭적인 레비 연산자를 갖는 비국소 포아송 방정식에 대해 $L^p$-최대정규성을 확립한다.
• 주어진 레비 측도 조건 하에서 특이 커널을 갖는 편미분 연산자 $\mathcal{L}^\nu$의 정의역은 주어진 조건 하에 베셀 힐버트 공간 $H^{1,p}$로 특성화된다.
• 크기가 큰 비대칭 레비 연산자들의 클래스는 $p \in (1, \infty)$ 에 대해 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 에서 해석적 반군을 생성한다.
• 코시 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 크릴로프 추정이 증명되었으며, 이는 고전적 결과를 임계 경우로 확장한다 (즉, $\alpha = 1$).
• 정규성 이론을 통해 임계 해밀턴-자코비 방정식과 다차원 임계 버거 방정식이 고유한 부드러운 해를 갖는 것으로 밝혀졌다.
• 임계 확산을 갖는 일련의 비선형 1차 포아송 시스템, 특히 다차원에서의 임계 버거 방정식을 포함하여 전역적인 잘 정의됨이 확립되었다.