[논문 리뷰] L_p moments of random vectors via majorizing measures

Olivier Guédon, Mark Rudelson|ArXiv.org|2005. 07. 01.

Point processes and geometric inequalities인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 주요 측도를 이용해 랜덤 벡터의 선형 함수에 대한 $L_p$ 모멘트를 볼록체 위에서 균일하게 근사하기 위해 필요한 표본 수에 대한 최적 경계를 확립한다. 등방성 로그-볼록 벡터의 경우, 거의 등거리성(empirical $p$-th moments)을 확보하기 위해 $\lfloor n^{p/2}\log n\rfloor$개의 표본으로 충분하며, 이는 가우시안 과정 및 거리 엔트로피 기법을 통해 이전 결과보다 크게 향상된 것이다.

ABSTRACT

For a random vector X in R^n, we obtain bounds on the size of a sample, for which the empirical p-th moments of linear functionals are close to the exact ones uniformly on an n-dimensional convex body K. We prove an estimate for a general random vector and apply it to several problems arising in geometric functional analysis. In particular, we find a short Lewis type decomposition for any finite dimensional subspace of L_p. We also prove that for an isotropic log-concave random vector, we only need about n^{p/2} \log n sample points so that the empirical p-th moments of the linear functionals are almost isometrically the same as the exact ones. We obtain a concentration estimate for the empirical moments. The main ingredient of the proof is the construction of an appropriate majorizing measure to bound a certain Gaussian process.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 벡터의 선형 함수에 대한 $L_p$ 모멘트를 볼록체 위에서 균일하게 근사하기 위해 필요한 최소 i.i.d. 표본 수를 결정하는 것.
• 주요 측도를 이용해 등거리 및 등장성 모멘트 추정을 확장하여, 특히 등방성 로그-볼록 및 $\psi_2$-분포를 가진 벡터에 대해 적용하는 것.
• 탈라그랑드의 주요 측도 이론을 활용하여 기하학적 함수해석학 및 고차원 확률론에서의 기존 경계를 향상시키는 것.
• 서브-가우시안 과정 및 거리 엔트로피 논증을 통해 경험적 $p$-번째 모멘트의 농도 및 기대값 경계를 수립하는 것.
• 유도된 표본 결과를 바탕으로 유한차원 $L_p$ 부분공간에 대한 짧은 루이스 유형 분해를 제공하는 것.

제안 방법

• 경험적 $p$-번째 모멘트와 관련된 랜덤 과정의 Supremum을 유계로 만들기 위해 인덱스 집합 $B_{p^*}^m \times B_2^n$ 위에 주요 측도를 구성하는 것.
• 탈라그랑드의 주요 측도 정리를 활용하여 경험 과정의 기대 Supremum을 가우시안 과정과의 비교를 통해 통제하는 것.
• 서브-가우시안 과정의 기대 Supremum을 $\ell_2$ 기반 거리 $d((t,y),(t',y')) = (|t-t'|_2^2 + |y-y'|_2^2)^{1/2}$ 에 대해 유계로 만들기 위해 거리 엔트로피 및 엔트로피 적분 기법을 적용하는 것.
• 선형 함수 $y \mapsto \langle X, y \rangle$ 에 대한 $\psi_2$ 조건을 활용하여 서브-가우시안 尾 확률를 보장하고, 이를 가우시안 과정과의 비교에 유용하게 활용하는 것.
• 경험 평균의 $L_p$-노름을 $\frac{1}{m^{1/p}} \sup_{t \in B_{p^*}^m} \sum_{j=1}^m t_j \langle X_j, y \rangle$ 로 표현함으로써 이중성 논증을 통해 문제를 가우시안 과정 비교로 환원하는 것.
• 주요 측도 정리를 적용하여 $\mathbb{E} \sup X_{t,y} \leq C \cdot \mathbb{E} \sup G_{t,y}$ 를 유도하는 것. 여기서 $G_{t,y}$ 는 동일한 공분산 구조를 가진 가우시안 과정이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록체 위에서 선형 함수의 경험적 $L_p$ 모멘트가 균일하게 진짜 모멘트에 가까워지도록 보장하기 위해 필요한 최소 i.i.d. 표본 수는 얼마인가?
• RQ2 주요 측도 기법을 사용하여 경험적 $p$-번째 모멘트 과정의 기대 Supremum에 대한 날카로운 경계를 유도할 수 있는가?
• RQ3 등방성 로그-볼록 및 $\psi_2$-분포를 가진 랜덤 벡터의 경우, 표본 복잡도는 차원 $n$ 과 모멘트 차수 $p$ 에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ4 결과를 거의 등거리성(Almost isometric)이 아닌 등장성(Isomorphic) 모멘트 추정으로 확장할 수 있으며, 이때 $p$ 에 대한 최적의 의존성은 무엇인가?
• RQ5 볼록체의 볼록성 모듈러스와 균일한 모멘트 근사에 필요한 표본 크기 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 등방성 로그-볼록 랜덤 벡터가 $\mathbb{R}^n$ 에서 정의될 경우, $\lfloor n^{p/2} \log n \rfloor$개의 표본으로 충분하여 경험적 $p$-번째 모멘트가 높은 확률로 진짜 모멘트와 거의 등거리성이 되도록 보장할 수 있다.
• 일반적인 등방성 벡터이면서 선형 함수에 대해 $\psi_2$ 조건을 만족하는 경우, $m \geq n^{p/2}$ 표본으로 $\mathbb{E} \sup_{y \in B_2^n} \left( \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m |\langle X_j, y \rangle|^p \right)^{1/p} \leq c \sqrt{p}$ 를 확보할 수 있다.
• 이 경계는 가우시안 경우에서 알려진 최고의 결과와 일치하며, $n$ 과 $p$ 에 대한 의존성 면에서 이전의 추정치 [25] 및 [26] 보다 향상된 것으로, 날카로운 경계임을 입증한다.
• 이 방법은 유한차원 $L_p$ 부분공간에 대해 짧은 루이스 유형 분해를 제공하며, [9] 및 [14]의 결과를 일반화한다.
• 논문은 경험적 $p$-번째 모멘트에 대한 농도 추정을 수립하여, $m \geq n^{p/2}$ 일 경우 높은 확률로 모든 $y \in \mathbb{R}^n$ 에 대해 경험적 노름이 진짜 $L_p$ 노름의 상수 배 이내에 있음을 보여준다.
• 결과는 클라르타그와 멘델슨의 등장성 모멘트 추정을 $p \geq 2$ 전역으로 일반화하며, $n$ 과 $p$ 에 독립적인 보편 상수를 갖는다.