[논문 리뷰] $L^p$ solutions of multidimensional BSDEs with weak monotonicity and general growth generators

Shengjun Fan|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 생성자 $g$에 대해 약한 단조성 조건과 일반적인 성장 조건을 만족할 때, 다차원 역확률미분방정식(BSDE)에 대한 $L^p$ ($p>1$) 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 주요 기여는 이러한 해에 대한 안정성 및 비교 정리의 수립으로, 이는 이전 결과들을 리프시츠 조건이나 강한 단조성 조건을 초월하여 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we first establish the existence and uniqueness of $L^p\ (p>1)$ solutions for multidimensional backward stochastic differential equations (BSDEs) under a weak monotonicity condition together with a general growth condition in $y$ for the generator $g$. Then, we overview several conditions related closely to the weak monotonicity condition and compare them in an effective way. Finally, we put forward and prove a stability theorem and a comparison theorem of $L^p\ (p>1)$ solutions for this kind of BSDEs.

연구 동기 및 목표

• 생성자 $g$에 대한 고전적 리프시츠 조건을 초월하여 다차원 BSDE에 대한 $L^p$ ($p>1$) 해의 존재성과 유일성을 확장하는 것.
• 생성자 $g$에 대한 단조성 조건을 강한 또는 볼록 형태에서 약한 단조성 조건으로 완화하고, $y$에 대한 일반적인 성장 조건을 도입하는 것.
• 이러한 일반화된 조건 하에서 $L^p$ 해에 대한 안정성 정리와 비교 정리를 수립하는 것.
• 문헌에서 제시된 다양한 단조성 유형 조건들을 통합하고 비교하여, 그 상호관계와 함의를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 생성자 $g$에 대한 약한 단조성 조건을 비감소적이며 연속적인 함수 $\rho(\cdot)$를 통해 정의하며, $\rho(0) = 0$ 이고 $\int_{0^+} \frac{u^{p-1}}{\rho^p(u)} du = \infty$ 를 만족시킨다.
• 생성자로부터 유도된 모듈러 함수 $F(r)$를 사용하여 이전의 볼록성 조건인 $\rho$를 볼록 상계 함수 $\bar{\rho}$로 대체함으로써 기존의 존재성 결과 적용 가능하게 한다.
• 공간 $\mathcal{S}^p \times \mathrm{M}^p$ 에서의 사전 추정과 바나흐 고정점 정리의 응용을 통해 $L^p$ 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 최종 조건과 생성자들이 수렴하는 수열의 BSDE들을 분석함으로써 안정성 정리를 수립한다.
• 약한 단조성 조건과 성장 조건 하에서 $L^p$ 해에 대한 비교 정리를 증명하여, 고전 결과를 다차원 경우로 확장한다.
• 이전 결과에서 요구하던 $\rho$에 대한 볼록성 조건을 순수한 연속성 조건으로 대체할 수 있음을 보여, 적용 범위를 크게 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자 $g$가 리프시츠 또는 강한 단조성 조건을 만족하지 않더라도, 약한 단조성 조건과 $y$에 대한 일반적인 성장 조건을 만족할 경우 다차원 BSDE에 대해 $L^p$ 해가 존재하고 유일하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 다양한 $g$에 대한 단조성 유형 조건들 간의 상호관계는 어떻게 되며, 효과적으로 통합하거나 비교할 수 있는가?
• RQ3 최종 조건과 생성자의 변화에 대한 편미분에 대해 $L^p$ 해의 안정성은 어떤 조건에서 보장되는가?
• RQ4 약한 단조성 조건과 일반적인 성장 조건 하에서 다차원 설정에서 $L^p$ 해에 대한 비교 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 단조성 조건에서의 연속성 모듈러스 $\rho$에 대한 볼록성 요구 조건은 필수적인가, 아니면 연속성 조건으로만 충분한가?

주요 결과

• 약한 단조성 조건과 $y$에 대한 일반적인 성장 조건 하에서 다차원 BSDE에 대해 $L^p$ ($p>1$) 해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 약한 단조성 조건은 비감소적이며 연속적인 함수 $\rho$를 통해 정의되며, $\int_{0^+} \frac{u^{p-1}}{\rho^p(u)} du = \infty$ 를 만족시킨다. 이는 이전의 볼록성 가정을 일반화한 것이다.
• 이전 결과에서 요구하던 $\rho$에 대한 볼록성 조건은 순수한 연속성 조건으로 대체될 수 있으며, 이는 허용 가능한 생성자 클래스를 크게 확장한다.
• 안정성 정리가 증명된다: 최종 조건과 생성자가 $L^p$ 수렴하면, 이에 대응하는 $L^p$ 해는 $\mathcal{S}^p \times \mathrm{M}^p$ 에서 수렴한다.
• 약한 단조성 조건과 성장 조건 하에서 $L^p$ 해에 대한 비교 정리가 수립되어, 최종 값과 생성자가 순서가 정해져 있을 경우 해들을 비교할 수 있다.
• 증명 기법은 유도된 함수 $F(r)$의 볼록 상계 함수 $\bar{\rho}$를 구성하는 데 기반하며, 이는 필요한 적분 가능성 조건을 만족하고 기존의 존재성 결과 적용을 가능하게 한다.