[논문 리뷰] Lévy processes with respect to the index Whittaker convolution

Rúben Sousa, Manuel Guerra외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 월리스 콘볼루션에 대해 레비 과정을 도입하며, 월리스 함수를 통해 정의된 [0, ∞) 상의 일반화된 콘볼루션이다. 레비-힌친 표현을 수립하고 샤티예프 과정의 제곱근이 이 콘볼루션 하에서 가우시안 과정임을 보여주는 마팅게일 특성화를 증명한다. 이는 브라운 운동에 대한 레비의 특성화와 유사하다.

ABSTRACT

The index Whittaker convolution operator, recently introduced by the authors, gives rise to a convolution measure algebra having the property that the convolution of probability measures is a probability measure. In this paper, we introduce the class of Lévy processes with respect to the index Whittaker convolution and study their basic properties. We prove that the square root of the Shiryaev process belongs to our family of Lévy process, and this is shown to yield a martingale characterization of the Shiryaev process analogous to Lévy's characterization of Brownian motion. Our results demonstrate that a nice theory of Lévy processes with respect to generalized convolutions can be developed even if the usual compactness assumption on the support of the convolution fails, shedding light into the connection between the properties of the convolution algebra and the nature of the singularities of the associated differential operator.

연구 동기 및 목표

• 지수 월리스 콘볼루션에 대한 레비 과정 이론을 개발한다. 이는 콘볼루션의 컴actsupport가 필요로 하지 않는 [0, ∞) 상의 일반화된 콘볼루션이다.
• 이 일반화된 콘볼루션 하에서 무한히 나누어지는 분포와 콘볼루션 세미군집의 존재를 확립한다.
• 색인 월리스 확산을 가우시안 과정으로 특성화하고, 브라운 운동에 대한 레비의 정리와 유사한 마팅게일 특성화를 제공한다.
• 표준 하이퍼그룹 컴팩트니스 조건이 실패할 경우에도, 생성자와 마팅게일 성질을 포함한 전체 스토케스틱 과정 이론을 개발할 수 있음을 보여준다.
• 이 틀을 이산 시간 $*$-가산 마코프 체인으로 확장하고, 이러한 과정에 대해 강한 수렴 법칙을 유도한다.

제안 방법

• 월리스 함수 $W_{\alpha,\nu}(x)$에 대한 수정된 곱 공식을 사용하여 유한 보렐 측도 상에서 색인 월리스 콘볼루션을 정의함으로써, 확률 측도의 콘볼루션 결과가 여전히 확률 측도임을 보장한다.
• 월리스 함수에 대한 새로운 라플라스 유형 적분 표현을 사용하여 핵심 분석적 성질을 도출하고 콘볼루션 대수의 구축을 지원한다.
• 균일 보조 변수 $U$를 사용하여 정의된 확률적 연산 $X \oplus_U Y$를 통해 $*$-가산 마코프 체인의 개념을 도입함으로써 합의 분포가 콘볼루션 $\mu * \nu$가 되도록 보장한다.
• 색인 월리스 확산의 $L^2$-생성자를 월리스 함수 고유함수와 관련된 미분 연산자 $\mathcal{L}$의 음수로 규명한다.
• 마팅게일 특성화를 증명하기 위해, 연속 과정 $Z_t^{-\mathcal{L},\phi_1}$가 이차 변동성이 $\frac{1}{2}\int_0^t Y_s^2 (\phi_1'(Y_s))^2 ds$인 국소 마팅게일임을 보여, 색인 월리스 확산에 대한 레비 유형 특성화를 이끌어낸다.
• 하이퍼그룹 이론에서 유도된 모멘트 함수 기법을 적용하여, 색인 월리스 콘볼루션 하에서의 $*$-랜덤 워크에 대해 강한 수렴 법칙을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트니스 조건을 만족하지 않는 일반화된 콘볼루션에 대해 의미 있는 레비 과정 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 색인 월리스 콘볼루션 하에서 색인 월리스 확산은 가우시안 과정인가? 그리고 마팅게일 성질을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 샤티예프 과정의 제곱근은 색인 월리스 콘볼루션 하에서 레비-힌친 표현을 갖는가?
• RQ4 이 콘볼루션 구조 하에서 $*$-가산 마코프 체인에 대해 강한 수렴 법칙을 확립할 수 있는가?
• RQ5 색인 월리스 확산 과정의 $L^2$-생성자의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 색인 월리스 확산이 색인 월리스 콘볼루션 하에서 가우시안 과정임을 보여주며, 기존 하이퍼그룹 설정을 초월하는 잘 행동하는 레비 과정의 범주를 확장한다.
• 샤티예프 과정의 제곱근이 색인 월리스 콘볼루션 하에서 레비 과정임을 증명함으로써, 이 과정에 대한 새로운 확률적 해석을 제공한다.
• 마팅게일 특성화가 확립되었다: 연속 과정 $Y_t$가 색인 월리스 확산임과 동치인 조건은 $Z_t^{-\mathcal{L},\phi_1}$가 이차 변동성이 $\frac{1}{2}\int_0^t Y_s^2 (\phi_1'(Y_s))^2 ds$인 국소 마팅게일임을 보여, 브라운 운동에 대한 레비의 특성화와 유사하다.
• 색인 월리스 확산의 $L^2$-생성자는 $-\mathcal{L}$로 명시적으로 규명되며, 여기서 $\mathcal{L}$은 월리스 함수 고유함수와 관련된 미분 연산자이다.
• $*$-랜덤 워크의 경우 강한 수렴 법칙이 성립한다: $\mathbb{E}[\widetilde{\varphi}_2(X_1)^{\theta/2}] < \infty$ 이고 $1 \leq \theta < 2$ 이면, $\frac{1}{n^{1/\theta}}(\widetilde{\varphi}_1(S_n) - n\mathbb{E}[\widetilde{\varphi}_1(X_1)]) \to 0$ 거의 확실히 수렴한다.
• 월리스 함수에 대한 새로운 라플라스 유형 적분 표현이 유도되었으며, 이는 별도의 관심을 끌며 콘볼루션의 구축과 그 확률적 성질을 뒷받침한다.