[논문 리뷰] l2-Betti numbers of discrete and non-discrete groups

Roman Sauer|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 종합 논문은 룩의 치수 함수와 페터센의 정의를 통해 고전적 불변량을 일반화함으로써, 이산적이고 비이산적인 국소적으로 컴act인 군에 대한 ℓ²-Betti 수의 이론을 수립한다. 국소적으로 컴팩트인 군 내의 격자에 대해 비례 원리를 증명하고, SL₃(ℚₚ)와 같은 p-진 군에서의 비영이 되는 ℓ²-Betti 수를 계산하여, 그들의 격자의 결함을 제한함을 보여준다.

ABSTRACT

This survey is an extended version of a talk during the Arbeitsgemeinschaft on totally disconnected locally compact groups, held in Oberwolfach in October 2014. We explain the definition of l2-Betti numbers of locally compact groups -- both discrete and non-discrete. Specific topics include proportionality principle, dimension function, Petersen's definition for locally compact groups, examples.

연구 동기 및 목표

• 이산 군에 대한 ℓ²-Betti 수 이론을 일반적인 국소적으로 컴팩트 군으로 확장하기.
• 국소적으로 컴팩트 군 내의 격자 맥락에서 ℓ²-Betti 수에 대한 비례 원리를 수립하기.
• 기하 모델과 군 von Neumann 대수를 사용하여 SL₃(ℚₚ)와 같은 p-진 리 군에 대한 ℓ²-Betti 수를 계산하기.
• ℓ²-Betti 수를 결함과 오일러 지표와 같은 군 불변량과 연관시키기.
• ℓ²-Betti 수의 영성은 비례하지 않더라도, 등장하는 군의 등장성 불변성임을 보여주기.

제안 방법

• von Neumann 대수와 그 반한형 측도를 통한 페터센의 정의를 이용해 국소적으로 컴팩트이고 유일한 군에 대한 ℓ²-Betti 수를 정의하기.
• 룩의 치수 함수를 적용하여 von Neumann 대수 위에서의 코homology 군의 차원으로 ℓ²-Betti 수를 계산하기.
• p-진 군의 경우 브하트-티츠 빌딩과 같은 기하 모델을 사용하여 등변 세포 수를 통해 ℓ²-Betti 수를 계산하기.
• 비례 원리 활용: 격자 Γ < G 에 대해 βₚ(Γ) = μ(Γ\G) ⋅ βₚ(G,μ).
• 오일러-포앵카레 공식을 적용하여 ℓ²-Betti 수를 군 표현과 결함과 연관시키기.
• 반단순 및 완전히 산산이 끊어진 성분을 포함한 곱 분해를 사용하여 일반적인 경우를 완전히 산산이 끊어진 군으로 환원하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ²-Betti 수는 어떻게 이산 군에서 비이산적인 국소적으로 컴팩트 군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 ℓ²-Betti 수에 대한 비례 원리는 유한 지수 부분군에서 국소적으로 컴팩트 군 내의 격자로 확장되는가?
• RQ3 SL₃(ℚₚ)와 같은 p-진 리 군에 대해 ℓ²-Betti 수를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 ℓ²-Betti 수와 군의 유한 표현의 결함 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비례하지 않는 불변량에도 불구하고, ℓ²-Betti 수의 영성은 등장성 불변성에 의해 유지되는가?

주요 결과

• G = SL₃(ℚₚ) 일 때, μ(B) = 1 이면 β₂(G,μ) ≥ 1 − 3/(p+1) > 0 이므로, 2차에서 비영이 되는 ℓ²-Betti 수를 보여준다.
• G = SL₃(ℚₚ) 에서의 격자 Γ 에 대해, 비례 원리에 의해 β₂(Γ) ≥ (1 − 3/(p+1)) ⋅ μ(Γ\G) 이다.
• Γ의 결함은 오일러-포앵카레 공식에 의해 1 − (1 − 3/(p+1)) ⋅ μ(Γ\G) 이하로 제한된다.
• G의 애매한 근본 K 가 비콤팩트이면, 모든 p ≥ 0 에 대해 βₚ(G,μ) = 0 이며, 이는 키어거-그로모프를 일반화한다.
• 애매한 근본이 콤팩트일 경우, βₚ(G,μ) = βₚ(G/K,ν) 이며, 이는 애매한 근본이 없는 군으로 환원 가능하게 한다.
• G = H × D 이고 H 가 반단순이고 D 가 완전히 산산이 끊어진 경우, βₚ(D,μ) 가 알려져 있으면 키투네트 공식을 통해 βₚ(G,μ) 를 계산할 수 있다.