[논문 리뷰] La formule des traces locale tordue

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 국소체 위의 재수성 군에 대해 비자명한 캐릭터 ω를 통한 비틀림을 고려한 아르투어의 작업을 일반화하여 비틀림 국소 추적 공식을 수립한다. ω-등변 궤도 적분과 온도형 ω-표현에 대한 기하적 및 스펙트럼적 분포 간의 등식을 증명함으로써, 비틀림 페일리-위너 정리와 쿠스피드 공간 내에서의 특성의 정규직교성을 도출하며, 재수성 군의 표현 이론에서 기초적인 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

The local trace formula gives strong relations between two types of invariant distributions on a reductive group defined over a local field: orbital integrals and characters of representations. For connected reductive groups, the formula was proved by J. Arthur. We extend the formula to twisted spaces, that is, roughly speaking, to non-connected reductive groups. The formula has the same consequences as in the connected case. In particular, we compute the elliptic product of tempered elliptic twisted representations.

연구 동기 및 목표

• 단위 캐릭터 ω를 사용하여 아르투어의 국소 추적 공식을 비틀림 설정으로 일반화한다.
• 비틀림 공간 ˜G(F) 위의 ω-등변 분포에 대한 기하-스펙트럼 등식을 수립한다.
• 아르키메데스성 및 비아르키메데스성 국소체 모두에 대해 비틀림 페일리-위너 정리를 비틀림 케이스로 확장한다.
• 쿠스피드 공간 Icusp(˜G(F), ω) 내에서 온도형 ω-표현 특성의 정규직교성을 증명한다.
• 추적 공식의 기하 측면과 스펙트럼 측면을 가중 궤도 적분과 ω-표현으로 기술한다.
• 안정적 추적과 안정화자에 기반한 ω-표현 특성의 내적 공식을 제공한다.

제안 방법

• G(F)에 속하는 g에 대해 l(gf) = ω(g)⁻¹l(f)를 만족하는 선형 함수 l로 ˜G(F) 위의 ω-등변 분포를 정의한다.
• 두 종류의 분포를 도입한다: 비틀림 궤도 적분 I˜G(γ, ω, f)와 ω-표현의 특성 I˜G(˜π, f) = trace(˜π(f)).
• 기하 측면 J˜Ggeom(ω, f1, f2)을 리만 부분군 ˜M에 대한 합으로 구성하며, 상대 웨일 군을 포함한 계수를 포함한다.
• 스펙트럼 측면 J˜Gspec(ω, f1, f2)을 동일한 리만 부분군에 대한 합으로 정의하며, 온도형 ω-표현의 특성과 가중 스펙트럼 항을 포함한다.
• 일반적인 ω로 확장된 비틀림 페일리-위너 정리를 적용하여 공식을 불변 형태 I˜Ggeom(ω, f1, f2) = I˜Gdisc(ω, f1, f2)로 변환한다.
• 타원형 삼중체 (M, σ, ˜r)와 안정화자의 이론을 사용하여, 추적 공식과 쌍대류 클래스 합을 통해 특성의 내적을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 캐릭터 ω를 고려한 비틀림 설정에서 국소 추적 공식의 올바른 기하적 및 스펙트럼적 공식은 무엇인가?
• RQ2 ω = 1의 경우에서 일반적인 단위 ω로 비틀림 페일리-위너 정리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 ˜G(F)ell 위의 ω-등변 쿠스피드 함수 공간의 내적 기하학적 특성은 무엇인가?
• RQ4 ω-표현의 특성은 안정적 추적과 쌍대류 클래스로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 비틀림 케이스에서 기하 측면(가중 궤도 적분)과 스펙트럼 측면(ω-표현의 특성) 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비틀림 국소 추적 공식은 기하 측면 J˜Ggeom(ω, f1, f2)과 스펙트럼 측면 J˜Gspec(ω, f1, f2) 사이의 등식을 수립하며, 아르투어의 결과를 비틀림 케이스로 일반화한다.
• ZG(F)θ가 컴act일 경우를 가정하면, 스펙트럼 측면 I˜Gdisc(ω, f1, f2)는 오직 온도형 ω-표현 특성만 포함하고, 기하 측면 I˜Ggeom(ω, f1, f2)는 불변 가중 궤도 적분의 합으로 표현된다.
• ˜G(F)ell 위에서 두 특성 Θ(˜π˜ρ1, γ)와 Θ(˜π˜ρ2, γ)의 내적은 정규 원소 ˜r ∈ W˜Greg(σ)에 대한 합으로 주어지며, |det((1−˜r)|A˜GM|)과 안정화자에 포함된 계수를 포함한다.
• 관련 삼중체 (M1, σ1, ˜r1)와 (M2, σ2, ˜r2)가 쌍대류가 아닐 경우, 내적 (˜π˜ρ1, ˜π˜ρ2)ell는 0이 된다.
• 삼중체가 쌍대류이고 W G0(σ) = {1}일 경우, 내적은 |RG(σ)|⁻¹ ∑˜r∈R˜Gess(σ)∩W˜Greg(σ) |det((1−˜r)|A˜GM|) trace(˜ρ1(˜r)) trace(˜ρ2(˜r))로 간소화된다.
• Θ(˜π, γ)의 ˜G(F)ell 위로의 제한은 Icusp(˜G(F), ω) 공간의 정규직교 기저를 이룬다. 각 기저 원소의 노름은 추적 공식을 통해 명시적으로 계산된다.