[논문 리뷰] La théorie de l'homotopie des 2-catégories

Jonathan Chiche|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 학위논문은 2-범주에 대한 호모토피 이론을 구축함으로써 2-Cat에 Quillen 모델 구조를 구성하고, 네트워크 함자에 의해 2-범주의 호모토피 범주가 소형 범주의 호모토피 범주와 동치임을 증명한다. 이는 단순체 방법, 기본 국소화자, Quillen의 정리 A의 2-범주적 판본을 사용하여 Grothendieck의 호모토피 이론을 범주에서 2-범주로 일반화한다. 이를 통해 네트워크 함자가 Ho(Cat)와 Ho(2-Cat)의 호모토피 범주 사이의 동치를 유도한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

On développe une théorie de l'homotopie des 2-catégories analogue à la théorie de l'homotopie des catégories développée par Grothendieck dans "À la poursuite des champs". Il s'agit de la thèse de doctorat de l'auteur. We develop a homotopy theory of 2-categories analogous to Grothendieck's homotopy theory of categories developed in "Pursuing Stacks." This is the author's PhD thesis.

연구 동기 및 목표

• Grothendieck의 호모토피 이론을 범주에서 2-범주로 확장하기.
• 2-범주적 맥락에서의 기본 국소화자를 정의하고 연구하기.
• 소형 범주의 호모토피 범주와 2-범주의 호모토피 범주 사이의 Quillen 동치를 확립하기.
• Quillen의 정리 A를 2-범주와 릿지스 모르피즘으로 일반화하기.
• 네트워크 함자에 의해 감지되는 약한 동치를 갖는 2-Cat에 대한 모델 구조를 구성하기.

제안 방법

• 2-범주를 단순체 집합으로 연결하기 위해 함자 N: Cat → b∆ 및 그 2-범주적 동반자를 사용한다.
• 기본 국소화자 이론을 적용하여 2-Cat 내의 약한 동치를 정의한다.
• 릿지스 모르피즘과 2-함수에 대해 Quillen의 정리 A의 2-범주적 판본을 구성한다.
• 왜곡된 실린더와 2-단절을 도입하여 2-Cat 내의 호모토피 유형을 분석한다.
• c: b∆ → Cat 및 N: Cat → b∆ 사이의 수반관계를 사용하고, Grothendieck의 구성법을 통해 2-범주로 확장한다.
• 단순체 집합에 대해 Sd 및 Ex 함자를 적용하여 네트워크를 안정화하고, Cat과 2-Cat 사이의 Quillen 동치를 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네트워크 함자에 의해 감지되는 약한 동치를 갖는 2-Cat에 Quillen 모델 구조가 존재하는가?
• RQ2 Quillen의 정리 A는 릿지스 함수에 대해 2-범주적 맥락으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 2-범주의 호모토피 범주와 소형 범주의 호모토피 범주 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 기본 국소화자는 2-범주적 맥락에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 네트워크 함자가 Ho(Cat)와 Ho(2-Cat) 사이의 동치를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 함자 N: Cat → b∆는 소형 범주와 단순체 집합의 모델 범주 사이의 Quillen 동치를 유도한다.
• 2-범주의 호모토피 범주 Ho(2-Cat)는 소형 범주의 호모토피 범주 Ho(Cat)와 동치이다.
• 릿지스 함수에 대해 2-범주적 판본의 Quillen의 정리 A가 성립하며, 이는 2-Cat 내의 약한 동치에 대한 기준을 제공한다.
• 2-Cat의 기본 국소화자는 네트워크 함자와 2-스켈레톤 단절을 통해 특성화된다.
• 수반관계 (c, N)은 2-Cat에서 Quillen 동치를 유도하지 않지만, cSd²와 Ex²N의 합성은 그러하다.
• Grothendieck의 2-범주 ∆/X의 구성은 네트워크 함자의 호모토피 범주 수준에서 호모토피 역함수를 제공한다.