[논문 리뷰] Lacunary hyperbolic groups

A. Yu. Olshanskii, Denis Osin외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비어 있는 초구형 군—즉, 그 점근적 원형에 적어도 하나의 R-나무가 포함된 유한 생성 군—을 도입한다. 저자들은 이러한 군을 초구형 상수와 단사성 반경이 제어된 초구형 군의 직접 극한으로 특성화하고, 이를 통해 열린 문제를 해결한다: 점근적 원형이 나무와 원의 곱과 위상동형이면서 비자명한 기본군을 가진 군을 구성함으로써, 그룹의 점근적 원형에서의 기본군 문제를 해결하고, Tarski의 야수와 순환군이 계층적 소작분할을 통해 초구형 점근적 원형을 가질 수 있음을 증명하며, 선형이지만 비선형인 발산 함수를 가진 군을 구성한다.

ABSTRACT

We call a finitely generated group lacunary hyperbolic if one of its asymptotic cones is an R-tree. We characterize lacunary hyperbolic groups as direct limits of Gromov hyperbolic groups satisfying certain restrictions on the hyperbolicity constants and injectivity radii. Using central extensions of lacunary hyperbolic groups, we solve a problem of Gromov by constructing a group whose asymptotic cone C has countable but non-trivial fundamental group (in fact C is homeomorphic to the direct product of a tree and a circle, so π_1(C)=Z). We show that the class of lacunary hyperbolic groups contains elementary amenable groups, groups with all proper subgroups cyclic, and torsion groups. This allows us to solve two problems of Drutu and Sapir, and a problem of Kleiner about groups with cut-points in their asymptotic cones. We also construct a finitely generated group whose divergence function is not linear but is arbitrarily close to being linear. This answers a question of Behrstock.

연구 동기 및 목표

• 초구형 상수와 단사성 반경이 제어된 초구형 군의 직접 극한으로 lacunary hyperbolic 군을 정의하고 특성화하는 것.
• Gromov의 문제를 해결하기 위해 점근적 원형의 기본군이 비자명한 군(특히 π₁ ≅ ℤ)인 군을 구성하는 것.
• Tarski의 야수와 순환군이 계층적 소작분할 표현을 가질 수 있음을 보여주어, 이로 인해 점근적 원형이 초구형이 되고 국소적으로 나무와 위상동형이 되도록 하는 것.
• Druţu와 Sapir, 그리고 Kleiner의 점근적 원형에서의 절단점 문제를 해결하는 것.
• 선형이지만 비선형인 발산 함수를 가진 유한 생성 군을 구성함으로써 Behrstock의 질문에 답하는 것.

제안 방법

• 초구형 상수와 단사성 반경에 제약을 두어 직접 극한으로 lacunary hyperbolic 군을 특성화하는 것.
• lacunary hyperbolic 군의 중심 확장을 사용하여, 나무와 원의 곱과 위상동형이면서 비자명한 기본군을 가진 점근적 원형을 구성하는 것.
• 초구형 군 위에서 계층적 소작분할 조건을 도입하여, 모든 점근적 원형이 초구형이고 국소적으로 나무와 위상동형이 되도록 보장하는 것.
• 초구형 군 위에서의 소작분할에 대한 Greendlinger 보조정리를 적용하여, van Kampen 다이어그램을 제어하고 점근적 원형의 초구형성을 증명하는 것.
• 초구형 극한과 초구형 원형을 초구형 필터를 통해 분석하여 대규모 기하학적 성질을 도출하고 군의 구조적 특성을 원형의 구조에서 유도하는 것.
• Kapovich와 Kleiner(부록)의 결과를 활용하여, 점근적 원형 중 하나가 R-나무이고 군이 유한 표현 가능하다면 군은 반드시 초구형임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군이 비자명한 기본군을 가진 점근적 원형을 가질 수 있는가? 만약 가능하다면, 어떤 구조를 가질 수 있는가?
• RQ2 Tarski의 야수와 순환군은 모든 점근적 원형이 초구형인 표현을 가질 수 있는가?
• RQ3 유한 생성 군의 발산 함수가 비선형이지만 선형에 가까운가? 그리고 얼마나 선형에 가까울 수 있는가?
• RQ4 점근적 원형에서 절단점의 존재와 군의 대수적 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 한 점근적 원형이 R-나무인 군이 반드시 초구형인 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 나무와 원의 곱과 위상동형이면서 기본군이 ℤ와 동형인 점근적 원형을 가진 군이 존재하며, 이는 Gromov의 문제를 해결한다.
• lacunary hyperbolic 군은 비가상 순환 초구형 군, Tarski의 야수, 순환군을 포함한다.
• Tarski의 야수와 순환군은 계층적 소작분할 표현을 통해 구성될 수 있으며, 이로 인해 모든 점근적 원형이 초구형이고 국소적으로 나무와 위상동형이 된다.
• 논문은 선형이지만 비선형인 발산 함수를 가진 유한 생성 군을 구성하여, Behrstock의 질문에 답한다.
• 유한 표현 가능한 군이 한 점근적 원형이 R-나무이면 반드시 초구형인데, 이는 Gromov의 6.8.M 및 6.8.N 보조정리의 변형을 통해 증명된다.
• 유한 표현 가능성이 초구형성을 이끌어내는 충분조건은, 카일리 그래프의 모든 큰 구간이 제어된 상수로 균일하게 초구형인 것으로, 이는 균일한 Gromov 초구형 상수를 유도한다.