[논문 리뷰] Ladder and Subdivision of Ladder Graphs with Pendant Edges are Odd Graceful

M. I. Moussa, E. M. Badr|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 08.

Graph Labeling and Dimension Problems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 사다리 그래프와 그 변형에 대한 새로운 종류의 홀수 유일 레이블링을 소개하며, 사다리 그래프에 매달린 갈래가 있는 그래프(Ln + mk₁), 그 분할 그래프(S(Ln) + mk₁), 그리고 매달린 갈래가 있는 삼각형 뱀 그래프의 분할(S(Δ-k snake) + mk₁)가 모두 홀수 유일 레이블링임을 증명한다. 저자들은 산술 수열과 기수 기반 할당을 사용하여 이중 사전성 있는 정점 및 간선 레이블링을 달성하는 명시적 레이블링 체계를 수립하여 홀수 유일 조건을 만족시킨다.

ABSTRACT

The ladder graph plays an important role in many applications as Electronics, Electrical and Wireless communication areas. The aim of this work is to present a new class of odd graceful labeling for the ladder graph. In particular, we show that the ladder graph Ln with m-pendant Ln + mk1 is odd graceful. We also show that the subdivision of ladder graph Ln with m-pendant S(Ln) + mk1 is odd graceful. Finally, we prove that all the subdivision of triangular snakes (delt-k snake) with pendant edges S(delt-k snake)+ mk are odd graceful.

연구 동기 및 목표

• 사다리 그래프에 매달린 갈래가 있는 새로운 구성 방식을 도입하여 홀수 유일 그래프의 범위를 확장한다.
• 매달린 갈래가 있는 분할 사다리 그래프와 삼각형 뱀 변형의 홀수 유일성에 대해 조사한다.
• 제안된 그래프 가족에 대해 홀수 유일 레이블링 조건을 만족하는 명시적 레이블링 알고리즘을 제공한다.
• 기존의 유일 레이블링 결과를 구조화된 그래프 가족에 대해 홀수 유일 프레임워크로 일반화한다.

제안 방법

• 홀수 간선 레이블을 보장하기 위해 산술 수열과 기수 기반 할당을 사용하는 정점 레이블링 체계를 제안한다.
• Ln + mk₁에 대한 레이블링을 위해 연속적인 홀수 정수를 정점에 할당하여 간선 레이블(절대 차이)이 서로 다른 홀수 정수가 되도록 한다.
• 분할 사다리 그래프 S(Ln) + mk₁에 대해 동일한 레이블링 전략을 적용하여 간선에 정점을 삽입하고 레이블을 재할당한다.
• 삼각형 뱀(Δ-k 뱀)에 매달린 갈래가 있는 경우, 뱀의 순환 구조와 추가된 갈래에 맞게 레이블링을 적응시킨다.
• 모든 간선 레이블이 1에서 2m−1 사이의 서로 다른 홀수 정수임을 확인하여 홀수 유일 조건을 검증한다. 여기서 m은 간선의 수이다.
• 모든 제안된 그래프 가족에 걸쳐 레이블링을 검증하기 위해 귀납적이고 구축적인 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매달린 갈래가 있는 사다리 그래프는 홀수 유일 레이블링이 가능한가?
• RQ2 매달린 갈래가 있는 분할 사다리 그래프는 홀수 유일 레이블링인가?
• RQ3 홀수 유일성 성질은 매달린 갈래가 있는 삼각형 뱀의 분할 그래프로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이 구조화된 그래프 가족에서 서로 다른 홀수 간선 레이블을 보장하는 레이블링 전략은 무엇인가?
• RQ5 분할 및 매달린 갈래 부착과 같은 그래프 수정이 이루어질 때 정점 및 간선 레이블 할당이 홀수 유일 조건을 어떻게 유지하는가?

주요 결과

• 모든 m ≥ 1에 대해 매달린 갈래가 있는 사다리 그래프 Ln + mk₁는 홀수 유일 레이블링이다.
• 모든 m ≥ 1에 대해 분할 사다리 그래프 S(Ln) + mk₁는 홀수 유일 레이블링이다.
• 모든 m ≥ 1에 대해 삼각형 뱀(Δ-k 뱀)의 분할 그래프 S(Δ-k snake) + mk₁는 홀수 유일 레이블링이다.
• 저자들은 반복 없이 이중 사전성 있는 홀수 간선 레이블링을 달성하는 명시적 레이블링 구조를 제공한다.
• 모든 테스트된 그래프 가족에 걸쳐 레이블링 체계가 일관되며, 설계에 따라 홀수 유일 조건을 만족한다.
• 결과적으로 홀수 유일 그래프의 알려진 범주에 매달린 갈래가 있는 구조화된 사다리 및 뱀 그래프 변형을 포함하도록 확장한다.