[논문 리뷰] Laderman matrix multiplication algorithm can be constructed using Strassen algorithm and related tensor's isotropies

Alexandre Sedoglavic|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 24.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Laderman의 3×3 행렬 곱셈 알고리즘(질량 23)이 Strassen의 2×2 알고리즘에 군 대칭성(등방성)을 적용하여 구성될 수 있음을 보여준다. 고전적인 3×3 곱셈 텐서는 대칭군에 의해 보존되는 최적의 2×2 알고리즘의 궤적과 보정 항으로 분해된다. 주요 기여는 3×3 행렬 곱셈의 구조를 유지하는 군의 작용을 통해 Laderman의 알고리즘이 유도됨을 보여주는 기하학적 구성이며, 알려진 알고리즘 간의 깊이 있는 대칭 기반 관계를 드러낸다.

ABSTRACT

In 1969, V. Strassen improves the classical~2x2 matrix multiplication algorithm. The current upper bound for 3x3 matrix multiplication was reached by J.B. Laderman in 1976. This note presents a geometric relationship between Strassen and Laderman algorithms. By doing so, we retrieve a geometric formulation of results very similar to those presented by O. Sykora in 1977.

연구 동기 및 목표

• Strassen의 2×2 행렬 곱셈 알고리즘과 Laderman의 3×3 알고리즘 간의 기하학적 관계를 밝혀내는 것.
• 3×3 행렬 곱셈 텐서의 대칭성(등방성)이 알려진 알고리즘을 재구성하는 데 사용될 수 있는지 조사하는 것.
• Laderman의 알고리즘이 3×3 텐서의 구조를 보존하는 군 작용에 의해 2×2 알고리즘의 궤적에서 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• Laderman의 알고리즘에 포함된 보정 항이 또한 군 궤적에서 유래됨을 보여주어 통합된 기하학적 프레임워크를 확인하는 것.

제안 방법

• 논문은 행렬 곱셈을 삼중선형 형태로 표현하기 위해 단순화된 텐서 프레임워크를 사용한다.
• 등급 1 텐서 위에 군 작용(K로 표기)을 정의하여 행렬 곱셈 텐서의 대칭성을 모델링한다.
• 고전적인 3×3 행렬 곱셈 텐서는 다음과 같이 분해된다: (1) 군 K에 의한 2×2 Strassen 알고리즘의 궤적, (2) 투영 ˜M¹¹¹의 궤적, (3) 보정 항 R.
• 군 작용 K는 특정 텐서 성분 위에서 추이적으로 작용하여, 낮은 질량 성분들로부터 전체 3×3 알고리즘을 구성할 수 있다.
• 구성된 알고리즘의 텐서 질량이 19(2×2 성분의 질량)와 4(보정 항의 질량)의 합으로 23임을 보여주어 질량이 23임을 입증한다.
• 구성은 명시적 텐서 수축과 대칭 궤적에 의존하며, 검증을 위해 컴퓨터 대수 시스템(Maple)을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Laderman의 3×3 행렬 곱셈 알고리즘은 기하학적 대칭성을 통해 Strassen의 2×2 알고리즘으로부터 도출될 수 있는가?
• RQ2 텐서 등방성이 서로 다른 행렬 곱셈 알고리즘 간의 관계를 어떻게 형성하는가?
• RQ3 Laderman의 알고리즘에서 보정 항은 대칭군 하의 군 궤적과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기존의 행렬 곱셈 알고리즘의 구조는 대칭군 하에서 작은 최적 알고리즘의 궤적으로 이해될 수 있는가?
• RQ5 2×2 빌딩 블록을 통해 3×3 행렬 곱셈 알고리즘을 구성하는 데 통합된 기하학적 프레임워크가 존재하는가?

주요 결과

• Laderman의 3×3 행렬 곱셈 알고리즘(질량 23)은 대칭군 K에 의해 2×2 Strassen 알고리즘의 궤적과 합하여 구성되며, 이 텐서의 질량는 19이다.
• 알고리즘의 보정 항 R의 질량는 4이며, e³₃⊗e³₂⊗e²₃ 및 e³₃⊗e³₃⊗e³₃와 같은 특정 등급 1 텐서의 군 궤적에서 유래된다.
• 전체 알고리즘은 M = K⋄(e¹₁⊗e¹₁⊗e¹₁) + K⋄(˜M¹¹¹) - R로 표현되며, 첫 번째 항은 2×2 최적 알고리즘에 해당하고 두 번째 항은 전체 텐서의 투영에 해당한다.
• 결과 텐서는 Laderman의 원래 알고리즘과 동일한 유형(질량 및 행렬 질량 프로파일)을 가지며, 이는 동일 알고리즘의 변종임을 확인한다.
• 구성 과정은 3×3 행렬 곱셈 텐서의 대칭성(등방성)이 2×2 및 3×3 알고리즘 간의 연결을 위해 필수적임을 드러낸다.
• 기호 계산을 통해 Maple로 검증된 기하학적 프레임워크는 군 작용이 작은 알고리즘으로부터 알려진 행렬 곱셈 알고리즘을 체계적으로 생성할 수 있음을 보여준다.