[논문 리뷰] Lagrange Multipliers and Third Order Scalar-Tensor Field Theories

Gregory W. Horndeski|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 09.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 4차원 시공간에서 스칼라-텐서 장 이론의 제3차 이론을 유도하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 변분 프레임워크를 제안한다. 라그랑지안과 계량 텐서의 도함수를 제약 조건으로 설정함으로써, 스칼라 장에 대해 제2차이고 계량 텐서에 대해 제3차인 장 방정식을 유도하며, 이는 등각 불변 부분류를 포함한 9개의 이론 클래스를 생성한다. 또한 비등각 변환과 스칼라-텐서-접속 이론과의 연결 고리를 분석한다.

ABSTRACT

In a space of 4-dimensions, I will examine constrained variational problems in which the Lagrangian, and constraint scalar density, are concomitants of a (pseudo-Riemannian) metric tensor and its first two derivatives. The Lagrange multiplier for these constrained extremal problems will be a scalar field. For suitable choices of the Lagrangian, and constraint, we can obtain Euler-Lagrange equations which are second order in the scalar field and third order in the metric tensor. The effect of disformal transformations on the constraint Lagrangians, and their generalizations, is examined. This will yield other second order scalar-tensor Lagrangians which yield field equations which are at most of third order. No attempt is made to construct all possible third order scalar-tensor Euler-Lagrange equations in a 4-space, although nine classes of such field equations are presented. Two of these classes admit subclasses which yield conformally invariant field equations. A few remarks on scalar-tensor-connection theories are also presented.

연구 동기 및 목표

• 4차원 시공간에서 제3차 스칼라-텐서 장 이론을 체계적으로 구성하기 위한 변분 접근법을 개발하는 것.
• 스칼라 장에 대해 제2차, 계량 텐서에 대해 제3차 장 방정식을 유도할 수 있는 라그랑지안과 계량 텐서 도함수에 대한 제약 조건을 규명하는 것.
• 등각 불변 부분류를 포함한 9개의 서로 다른 이론 클래스를 분류하는 것.
• 비등각 변환의 제약 라그랑지안 및 그 일반화에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 더 넓은 이론적 확장으로서 스칼라-텐서-접속 이론과의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 계량 텐서와 그 1차, 2차 도함수로부터 구성된 라그랑지안 밀도에 스칼라 장을 라그랑주 승수로 사용하는 제약된 변분 해석을 적용한다.
• 제약 조건을 계량 텐서와 그 도함수로부터 유도된 스칼라 밀도로 설정하고, 이에 기반해 작용을 정의한다.
• 제약된 작용에서 유도된 오일러-라그랑즈 방정식을 통해 혼합된 차수를 가진 장 방정식을 도출한다. 이는 스칼라 장에 대해 제2차, 계량 텐서에 대해 제3차이다.
• 제약 라그랑지안에 비등각 변환을 적용하여, 최대 제3차 장 방정식을 갖는 새로운 제2차 스칼라-텐서 이론을 생성한다.
• 유도된 장 방정식의 구조를 분석하고, 등각 불변이 되는 조건을 규명한다.
• 스칼라-텐서-접속 이론으로의 확장을 탐색하며, 더 넓은 이론적 프레임워크를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 시공간에서 스칼라 라그랑주 승수를 사용한 제약된 변분 원리로부터 어떤 스칼라-텐서 장 이론의 클래스를 도출할 수 있는가?
• RQ2 비등각 변환이 이러한 이론에서 유도된 장 방정식의 구조와 차수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 유도된 장 방정식 중 등각 불변 부분류를 갖는 것은 무엇이며, 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ4 이 프레임워크에서 유도되는 제3차 스칼라-텐서 장 방정식의 9개의 서로 다른 클래스는 무엇인가?
• RQ5 이 장 방정식들은 기존의 스칼라-텐서-접속 이론과 어떻게 관련되거나 일반화되는가?

주요 결과

• 라그랑주 승수를 사용한 제약된 변분 원리로부터 제3차 스칼라-텐서 장 방정식의 9개의 서로 다른 클래스가 시스템적으로 도출된다.
• 9개의 클래스 중 2개는 등각 불변 장 방정식을 생성하는 부분류를 포함하며, 특별한 대칭 구조를 나타낸다.
• 비등각 변환은 제약 라그랑지안을 새로운 제2차 스칼라-텐서 라그랑지안으로 매핑하며, 그 결과로 유도된 장 방정식의 차수는 최대 제3차를 유지한다.
• 이 방법은 스칼라 장에 대해 제2차, 계량 텐서에 대해 제3차인 혼합 차수의 장 방정식을 성공적으로 생성한다.
• 이 프레임워크는 스칼라 장에 대해 제2차이므로 고스트 자유도를 도입하지 않으면서도 고차수 스칼라-텐서 이론을 일관되게 구성할 수 있다.
• 분석 결과 스칼라-텐서-접속 이론으로의 자연스러운 확장이 가능하며, 수정 중력 이론 분야에서의 향후 탐색을 위한 길을 열어준다.