[논문 리뷰] Lagrangian and Noncommutativity

Ignacio Cortese, J. Antonio Garcı́a|ArXiv.org|2003. 05. 07.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비가환 구성 공간 변수를 가진 일阶 시스템으로부터 두 계수 라그랑지안을 구성하는 역문제를 보조 변수와 다르스 변환을 사용하여 다룬다. 비국소적 라그랑지안을 형식적으로 유도하여 투영된 두 계수 운동을 재현하고, 비가환 조화진동자에 대해 등가의 국소적 두 계수 라그랑지안을 구축하여 대칭성과 경계 조건 일치를 통해 일관성을 입증한다.

ABSTRACT

We analyze the relation between the concept of auxiliary variables and the Inverse problem of the calculus of variations to construct a Lagrangian from a given set of equations of motion. The problem of the construction of a consistent second order dynamics from a given first order dynamics is investigated. At the level of equations of motion we find that this reduction process is consistent provided that the mapping of the boundary data be taken properly into account. At the level of the variational principle we analyze the obstructions to construct a second order Lagrangian from a first order one and give an explicit formal non-local Lagrangian that reproduce the second order projected dynamics. Finally we apply our ideas to the so called ``Noncommutative classical dynamics''.

연구 동기 및 목표

• 비가환 구성 공간 좌표를 가진 일계수 시스템으로부터 두 계수 라그랑지안을 구성하는 역문제를 해결하기 위해.
• 운동 방정식과 변분 원리 수준에서 일계수 운동을 두 계수 운동으로 축약하는 일관성 여부를 조사하기 위해.
• 비가환 시스템에서 운동량이 보조 변수가 아닐 경우 국소적 두 계수 라그랑지안을 구성하는 데에 발생하는 장애를 다루기 위해.
• 일반적인 비가환 시스템에 대해 투영된 두 계수 운동을 재현할 수 있는 형식적인 비국소적 라그랑지안을 유도하기 위해.
• 다르스 변환과 보조 변수 기법을 사용하여 비가환 조화진동자에 대해 등가의 국소적 두 계수 라그랑지안을 구성하기 위해.

제안 방법

• 주어진 일계수 운동 방정식이 라그랑지안으로부터 유도될 수 있는 조건을 결정하기 위해 변분법의 역문제를 적용한다.
• 일계수 시스템에서 보조 변수를 식별하고, 이를 제거하여 구성 공간에서의 두 계수 방정식을 유도한다.
• 다르스 변환을 사용하여 비가환 운동량을 보조 변수로 변환함으로써 직접적으로 두 계수 라그랑지안을 구성할 수 있도록 한다.
• 경계 조건이 적절히 고려될 경우 유효한 형식적인 비국소적 라그랑지안을 유도하여 두 계수 운동 방정식을 재현한다.
• 비가환 조화진동자에 대해 변수를 변환하여 운동량을 보조 변수로 만들고, 이를 제거함으로써 닫힌 형태의 두 계수 라그랑지안을 얻는다.
• 대칭성과 명시적 해 일치를 통해 유도된 두 계수 방정식이 원래 시스템과 등가임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동량이 보조 변수가 아닐 경우, 비가환 비가환 동역학계에서 일관된 두 계수 라그랑지안을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비가환 구성 공간 좌표를 가진 일계수 시스템으로부터 국소적 두 계수 라그랑지안을 구성하는 데에 발생하는 장애는 무엇인가?
• RQ3 형식적인 비국소적 라그랑지안을 어떻게 도출할 수 있으며, 그 운동 방정식이 투영된 두 계수 운동을 재현할 수 있는가?
• RQ4 다르스 변환을 사용하여 비가환 시스템에서 운동량을 보조 변수로 만들 수 있는가? 이를 통해 두 계수 라그랑지안을 구성할 수 있는가?
• RQ5 적절한 경계 조건이 적용되었을 때, 축약을 통해 구한 두 계수 운동은 원래의 일계수 운동과 동일한가?

주요 결과

• 경계 조건이 적절히 고려될 경우, 원래 시스템과 축약된 시스템의 해를 일치시킴으로써 일계수 운동을 두 계수 운동으로 축약하는 것이 운동 방정식 수준에서 일관됨을 입증하였다.
• 형식적인 비국소적 라그랑지안이 유도되었으며, 이는 두 계수 투영 운동을 재현하고 원래 일계수 시스템과 동일한 운동 방정식을 갖는다.
• 비가환 조화진동자에 대해 다르스 변환을 통해 운동량을 보조 변수로 만들고, 이를 통해 국소적 두 계수 라그랑지안을 명시적으로 유도하였다.
• 유도된 두 계수 라그랑지안은 원래 두 계수 시스템의 운동 방정식과 비례함을 확인하여 대칭성을 통해 등가성을 확인하였다.
• 비가환 조화진동자의 해는 경계 조건에 의해 매개변수 θ에 따라 달라지며, 이는 비가환성의 비자명한 영향을 보여준다.
• 식 (88)의 다르스 변환이 운동 방정식의 대칭임을 입증하여 원래와 변환된 두 계수 시스템 간의 등가성을 검증하였다.