[논문 리뷰] Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces

Mohammed Abouzaid, Denis Auroux외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 28인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 토릭 다양체와 그 블로우업의 초평면에 대해 블로우업의 라그랑주 분할을 이용하여 SYZ 미러를 구축하며, 칼라비-야우 및 파노 다각형 이외의 기하학적 기초를 제공한다. 정규성 조건 하에서 $V \times \mathbb{C}$ 를 $H \times 0$ 沿해 블로우업하면 랑드-긴즈부르그 미러를 갖는다. 이는 애매한 쌍곡면 다발과 원래 초평면 $H$ 의 미러를 제공하며, 일반 유형 초평면에 대한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We consider mirror symmetry for (essentially arbitrary) hypersurfaces in (possibly noncompact) toric varieties from the perspective of the Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) conjecture. Given a hypersurface $H$ in a toric variety $V$ we construct a Landau-Ginzburg model which is SYZ mirror to the blowup of $V imes\mathbb{C}$ along $H imes 0$, under a positivity assumption. This construction also yields SYZ mirrors to affine conic bundles, as well as a Landau-Ginzburg model which can be naturally viewed as a mirror to $H$. The main applications concern affine hypersurfaces of general type, for which our results provide a geometric basis for various mirror symmetry statements that appear in the recent literature. We also obtain analogous results for complete intersections.

연구 동기 및 목표

• 일반 유형의 초평면에 대해 스트롬저-야우-자슬로프(SYZ) 추측을 칼라비-야우 및 파노 다양체를 초월해 확장하기 위해.
• 일반 유형 다양체에서 라그랑주 원환면 분할의 실패를 보완하기 위해 원래 공간을 그러한 분할을 허용하는 블로우업으로 대체함으로써.
• 카일러 다양체 $X$ 에 대해 일반화된 SYZ 미러를 랑드-긴즈부르그 모델 $(Y,W)$ 로 구성하기 위해, 여기서 $Y$ 는 $X^0 \subset X$ 의 라그랑주 분할의 푸카비 카테고리에 속한 객체들의 모듈리 공간의 완비화이며, $W$ 는 해석적 디스크의 수와 변형 이론에서 유도된다.
• 이전에 그러한 기초가 없었던 일반 유형의 애매한 초평면에 대해 미러 대칭의 기하학적 실현을 제공하기 위해.
• 동일한 블로우업 및 분할 프레임워크를 통해 완전 교차와 애매한 쌍곡면 다발로 이 구성의 일반화를 위해.

제안 방법

• 카일러 다양체 또는 $A$-측면의 랑드-긴즈부르그 모델인 $X$ 의 열린 밀도 부분집합 $X^0 \subset X$ 에서 라그랑주 원환면 분할 $\pi: X^0 \to B$ 을 정의함으로써 일반화된 SYZ 미러를 정의한다.
• 푸카비 카테고리 $\mathcal{F}(X^0)$ 의 차단되지 않은 원환면 유사 객체들의 모듈리 공간의 완비화로 미러 $Y$ 를 구성하며, 슈퍼포텐셜 $W$ 는 변형 이론과 해석적 디스크 수에서 기인한다.
• 정규성 조건을 사용하여 블로우업 $\mathrm{Bl}_{H \times 0}(V \times \mathbb{C})$ 에서 잘 정의된 라그랑주 분할의 존재를 확보함으로써 랑드-긴즈부르그 모델의 구축을 가능하게 한다.
• 절단 함수 기법과 중심 섹션의 고리에 대한 거리 함수의 추정치를 사용하여 해밀토니안 벡터장의 행동을 제어하고, 특이 집합을 따라도 흐름이 잘 정의됨을 보장한다.
• 일반 유형 설정에서 차단된 플로어 이론과 비스핀 구조를 다루기 위해 $H^2(X, \mathbb{Z}/2)$ 의 배경 클래스에 대해 휘어진 푸카비 카테고리를 활용한다.
• 모르스- bott 슈퍼포텐셜과 그 임계점 집합의 푸카비 카테고리 사이의 동치관계(곡률 이동을 제외하고)를 이용하여, 미러를 원래 초평면 $H$ 와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 유형의 초평면은 특수 라그랑주 분할이 없기 때문에, SYZ 추측을 일반 유형의 초평면으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 초평면 $H$ 가 라그랑주 원환면 분할을 갖지 못할 경우, 토릭 다양체 $V$ 내의 초평면 $H$ 에 대해 랑드-긴즈부르그 미러를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 $V \times \mathbb{C}$ 가 $H \times 0$ 에 대해 블로우업하는 것은 초평면 $H$ 에 대한 일반화된 SYZ 미러를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 모르스- Bott 슈퍼포텐셜을 가진 $A$-측면 랑드-긴즈부르그 모델의 푸카비 카테고리는 그 임계점 집합의 푸카비 카테고리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 구성은 완전 교차와 애매한 쌍곡면 다발로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 정규성 조건 하에서 $V \times \mathbb{C}$ 를 $H \times 0$ 에 대해 블로우업하면 라그랑주 원환면 분할을 갖는다. 이는 일반화된 SYZ 미러의 구축을 가능하게 한다.
• 결과로 얻어진 미러는 랑드-긴즈부르그 모델 $(Y,W)$ 이며, 여기서 $Y$ 는 $\mathcal{F}(X^0)$ 의 객체들의 모듈리 공간의 완비화이며, $W$ 는 해석적 디스크 수에서 유도된 슈퍼포텐셜으로 제한된다.
• 이 구성은 원래 초평면 $H$ 에 대해 랑드-긴즈부르그 모델로 미러를 제공하며, 일반 유형 초평면에 대한 문헌의 미러 대칭 진술에 기하학적 기초를 제공한다.
• 이 방법은 애매한 쌍곡면 다발에도 적용되며, 동일한 블로우업 및 분할 프레임워크를 통해 그들의 SYZ 미러를 제공한다.
• 편미분 함수 $f_{t,\lambda}$ 와 관련된 해밀토니안 벡터장은 국소적으로 균일하게 유계이며, 이는 특이 집합(예: $(t,\lambda) = (0,\epsilon)$ 에서의 $H$)을 따라도 잘 정의된 흐름이 존재함을 보장한다.
• 배경 클래스를 갖는 휘어진 푸카비 카테고리는 비스핀 구조와 차단된 라그랑주를 다룰 수 있게 하며, 이는 일반 유형 기하학에서 핵심적이다.