[논문 리뷰] Lagrangian Mean Curvature flow for entire Lipschitz graphs II

Albert Chau, Jingyi Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 30.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$ 내의 전체 리프시츠 그래프 위에서 완전히 비선형 라그랑주 평균 곡률 흐름 방정식의 해에 대해 장기 존재성과 정밀한 추정치를 확립한다. 초기 헤시안 조건으로는 균일 유계 헤시안, 약한 볼록성, 또는 큰 초임계 라그랑주 위상이 있다. 핵심 기여는 초기 자료가 $C^{1,1}$일지라도 해가 모든 시간 동안 존재하고, 균일한 곡률 및 도함수 감쇠 추정치를 만족함을 증명한 것이다. 이는 파arabolic 몽제-암페르 유형 방정식에 좌표 회전, 근사화, 최대원리의 새로운 조합을 적용함으로써 달성된다.

ABSTRACT

We prove longtime existence and estimates for solutions to a fully nonlinear Lagrangian parabolic equation with locally $C^{1,1}$ initial data $u_0$ satisfying either (1) $-(1+η) I_n\leq D^2u_0 \leq (1+η)I_n$ for some positive dimensional constant $η$, (2) $u_0$ is weakly convex everywhere or (3) $u_0$ satisfies a large supercritical Lagrangian phase condition.

연구 동기 및 목표

• 완전히 비선형 포물선 방정식 $\partial_t u = \sum_{i=1}^n \arctan \lambda_i$ 에 대해 초기 자료 $u_0$ 가 $C^{1,1}$ 인 경우의 장기 존재성과 정칙성을 확립한다.
• 이전 결과를 헤시안 유계 조건 $-(1+\eta)I_n \leq D^2u_0 \leq (1+\eta)I_n$ 에서 $\eta$ 가 엄밀히 음수인 경우를 초월하여 확장한다.
• 초기 자료가 엄밀히 볼록적이거나 무한히 큰 헤시안을 가질 수 있을지라도 해가 유리한 헤시안 유계 조건과 감쇠 추정치를 유지함을 증명한다.
• 초기 자료가 $C^{1,1}$ 이며 위상 조건이 임계 또는 초임계일 경우 최대원리 기법을 적용하는 데 도전하는 문제를 다룬다.
• 라그랑주 위상 조건 $\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$ 가 흐름 동안 유지됨을 보이고, 이는 古적 해의 분류 결과를 이끈다.

제안 방법

• 초기 헤시안 유계 조건을 Theorem 1.1 [13]과 호환되는 형태로 만들기 위해 $\sigma_0$-의존적인 소규모 좌표 회전을 적용한다. 이를 통해 기존 추정치의 사용이 가능해진다.
• 모리피케이션을 사용하여 변환된 초기 자료의 스무스 근사 수열 $v^k_0$ 를 구성하고, 극한에서 헤시안 및 위상 조건을 유지한다.
• 각 $k$ 에 대해 흐름 동안 위상 조건 $\Theta(D^2v^k_0) \geq (n-1)\pi/2 - n\sigma_0$ 가 유지됨을 증명한다. 이는 위상 집합의 볼록성과 리만 합에 의한 근사화를 통해 이루어진다.
• 각 $v^k_0$ 에 대해 [13]의 Theorem 1.1 을 적용하여 $l \geq 2$ 에 대해 균일 유계인 $C^l$ 노름과 도함수 감쇠 추정치 $\sup |D^l u| \leq C_l / t^{l-2}$ 를 확보한다.
• 컴act 집합에서 $\mathbb{R}^n \times (0,\infty)$ 에서의 스무스 수렴을 통해 근사해 $w^k(p,t)$ 의 극한으로 해 $w(p,t)$ 를 얻고, 동일한 추정치를 만족함을 보인다.
• 강한 최대원리 및 [2]의 유일성 결과를 적용하여, 위상 조건에서 등호가 어떤 점에서 성립하면 $u_0$ 가 이차형이어야 함을 보이고, 이는 古적 해의 분류로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤시안이 엄밀히 음수일 필요가 없는 $\eta$-프레임워크에서 유계 헤시안을 가진 $C^{1,1}$ 초기 자료에 대해 라그랑주 평균 곡률 흐름의 장기 존재성과 도함수 감쇠 추정치를 확립할 수 있는가?
• RQ2 초기 자료가 유계가 아니거나 무한히 큰 헤시안을 가질 수 있을 때, 위상 조건 $\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$ 가 흐름 동안 유지되는가?
• RQ3 초기 자료가 초임계 위상 조건을 등호로 만족할 경우 흐름은 어떻게 되는가? 이는 초기 자료가 이차형이 되도록 강제하는가?
• RQ4 위상 연산자가 볼록성이 아닐 경우, 즉 볼록 케이스와 다를 때, $C^{1,1}$ 초기 자료에 대해 최대원리가 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 곡률 및 도함수 추정치를 증명할 때 초기 헤시안의 스무스함 부족을 어떻게 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 작은 $\eta(n) > 0$ 에 대해 $-(1+\eta)I_n \leq D^2u_0 \leq (1+\eta)I_n$ 를 만족하는 $C^{1,1}$ 초기 자료에 대해, 모든 $t > 0$ 에 대해 $D^2u$ 가 $\sqrt{3}I_n$ 으로 균일 유계인 유일한 장기 스무스 해가 존재한다.
• 3 이상의 도함수 차수 $l$ 에 대해 $\sup |D^l u(x,t)|^2 \leq C_l / t^{l-2}$ 를 만족하는 정밀한 감쇠 추정치가 모든 $t > 0$ 에 대해 성립하며, $C_l$ 는 $l$ 에만 의존한다.
• 기울기 $Du(x,t)$ 는 $t=0$ 에서 시간에 대해 균일한 허들 연속성을 가지며 지수 $1/2$ 를 가진다. 이는 $C^{1,1}$ 초기 자료일지라도 성립한다.
• 약한 볼록성 초기 자료의 경우 해는 모든 $t > 0$ 에 대해 약한 볼록성을 유지하며, $D^2u > 0$ 가 전 구역에서 성립하거나 해가 더 적은 변수에 대한 볼록 부분으로 분해된다.
• 초기 자료가 $\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$ 를 만족하면 이 위상 조건은 모든 $t \geq 0$ 에 대해 유지되며, 어떤 점에서 등호가 성립하면 $u_0$ 는 이차형이 된다.
• 제2 기본 형식 및 그 공변도함수는 모든 $l \geq 0$ 에 대해 $|\nabla^l_t A(x,t)|^2 \leq C_l / t^{l+1}$ 를 만족하여 곡률 양의 급격한 감쇠를 보장한다.