[논문 리뷰] Lagrangian Quantum Homology for Lagrangian cobordism

Berit Singer|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 부분집합 $S\subset\partial V$ 에 대한 상대 양자호모로지 $QH_*(V,S)$ 를 정의하여, 단조성 라그랑주 코브อร督办즘에 대해 라그랑주 양자호모로지의 확장한다. 펄링 경로와 양해석적 디스크를 이용하여 $QH_*(V,S)$ 에 자연적-등급 링 구조를 수립하고, 데이터의 일반적 선택에 대해 불변성을 증명하며, 코브르督办즘의 양자호모로지가 끝부분과 환경 다양체의 양자호모로지와 어떻게 관련되는지 분석한다. 응용으로는 라그랑주 구의 판별식과 같은 불변량을 다룬다.

ABSTRACT

We extend the definition of Lagrangian quantum homology to monotone Lagrangian cobordism and establish its general algebraic properties. In particular we develop a relative version of Lagrangian quantum homology associated to a cobordism relative to a part of its boundary and study relations of this invariant to the ambient quantum homology.

연구 동기 및 목표

• 단조성 라그랑주 코브르督办즘 $V$ 와 그 경계의 부분집합 $S\subset\partial V$ 에 대해 상대 양자호모로지 $QH_*(V,S)$ 를 정의하고 연구한다.
• 기존의 표준 라그랑주 양자호모로지에서 알려진 구조를 일반화하는 바탕이 되는 $\natural$-등급 링 곱을 포함한 대수적 구조를 $QH_*(V,S)$ 에 수립한다.
• 코브르督办즘의 양자호모로지가 경계 성분들과 환경 심플렉틱 다양체의 양자호모로지와 어떻게 관련되는지, 링 구조를 유지하는 자연스러운 사상들을 통해 분석한다.
• 이 이론을 적용하여 라그랑주 구의 판별식과 같은 불변량을 계산하고, 코브르督办즘에 대해 불변임을 보인다.

제안 방법

• 모르스 함수 $\tilde{f}$, 메트릭 $\tilde{\rho}$, $\omega$-호환 거의 복소構조 $\tilde{J}$ 를 사용하여 $\tilde{M} = \mathbb{R}^2 \times M$ 상에서 사슬 복합체 $C(V,S;\tilde{f},\tilde{\rho},\bar{J})$ 를 구성하고, 기울기 흐름이 $S$ 를 통해 외부로 나가는 것을 보장한다.
• 이 사슬 복합체의 호모로지로 상대 양자호모로지 $QH_*(V,S)$ 를 정의하고, 일반적 데이터에 대해 $\tilde{f}$, $\tilde{\rho}$, $\tilde{J}$ 의 선택에 독립적임을 증명한다.
• $\Lambda$-이중선형 곱 $*\colon QH_i(V,S) \otimes QH_j(V,S) \to QH_{i+j-(n+1)}(V,S)$ 를 도입하여 $QH_*(V,S)$ 가 (비가역 단위원소일 수 있는) 링의 구조를 지닌다.
• 모듈리 공간을 이용하여 펄링 경로—모르스 경로와 양해석적 디스크의 조합—를 통해 미분과 곱을 정의하고, 노비코프 링 $\Lambda = \mathcal{R}[t,t^{-1}]$ 의 계수를 사용한다.
• $QH_*(V,S)$, $QH_*(V)$, $QH_*(\partial V)$, 그리고 환경 양자호모로지 $QH_*(\tilde{M}_T)$ 사이의 자연스러운 사상들을 수립하고, 포함과 경계 사상에 대한 행동을 분석한다.
• 단위 $e_{(V,\partial V)}$ 가 $[(V,\partial V)] = ([L_1]_{QH_*(V)} + [L_2]_{QH_*(V)}) \times I = -[L_3]_{QH_*(V)} \times I$ 를 만족함을 증명하여, 코브르督办즘의 양자류가 끝부분과 연결됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 양자호모로지가 경계 부분집합 $S$ 에 대해 일반화되어 단조성 라그랑주 코브르督办즘에 적용될 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 코브르督办즘의 상대 양자호모로지 $QH_*(V,S)$ 에서는 어떤 대수적 구조—특히 링 구조—가 나타나는가?
• RQ3 코브르督办즘의 끝부분과 환경 다양체의 양자호모로지가 총괄 코브르督办즘의 양자호모로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 코브르督办즘의 양자호모로지가 라그랑주 구의 판별식과 같은 불변량을 탐지할 수 있으며, 코브르督办즘에 대해 보존되는가?

주요 결과

• 일반적 데이터에 대해 모르스 함수 $\tilde{f}$, 메트릭 $\tilde{\rho}$, 거의 복소구조 $\tilde{J}$ 의 선택에 독립적인 상대 양자호모로지 $QH_*(V,S)$ 는 잘 정의되어 있다.
• 상대 양자호모로지 $QH_*(V,S)$ 는 $\Lambda$-이중선형 곱을 통해 (비가역 단위원소일 수 있는) 링의 구조를 지닌다. $S = \partial V$ 일 경우 단위원소가 존재하며, 곱은 $n+1$ 만큼의 등급 이동과 호환된다.
• $i_*\colon QH_*(\partial V) \to QH_*(V)$ 는 $e_{L_1}, e_{L_2}, e_{L_3}$ 를 각각 $[L_1]_{QH_*(V)}, [L_2]_{QH_*(V)}, -[L_1]_{QH_*(V)} - [L_2]_{QH_*(V)}$ 로 보낸다. 이는 포함 사상의 비자명성을 보여준다.
• $QH_*(V,\partial V)$ 의 단위 $e_{(V,\partial V)}$ 는 $[(V,\partial V)] = ([L_1]_{QH_*(V)} + [L_2]_{QH_*(V)}) \times I = -[L_3]_{QH_*(V)} \times I$ 를 만족하며, 코브르督办즘의 양자류가 끝부분과 연결됨을 보여준다.
• $QH_*(V,\partial V)$ 의 양자곱은 명시적으로 계산된다: $x_1*x_1 = ([L_1]*[L_1]\times R)*e$, $x_2*x_2 = ([L_2]*[L_2]\times R)*e$, $x_1*x_2 = ([L_1]*[L_2]\times R)*e$, 여기서 $[L_i]*[L_j]$ 는 환경 양자곱이다.
• $i\colon QH_*(V,\partial V) \to QH_*(\tilde{M}_T, \partial\tilde{M}_T)$ 는 $e_{(V,\partial V)}$ 를 $([L_1]+[L_2])\times I$ 로 보낸다. 기저 원소들은 각각 $[L_1]*([L_1]+[L_2])\times I$ 와 $[L_2]*([L_1]+[L_2])\times I$ 로 보낸다.