[논문 리뷰] Lagrangian Reduction, the Euler--Poincaré Equations, and Semidirect Products

Hernán Cendra, Darryl D. Holm외 2명|arXiv (Cornell University)|1999. 05. 31.

Control and Dynamics of Mobile Robots참고 문헌 35인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴형 반직접곱 축소의 라그랑주적 대응체를 개발하여 대칭성과 이송 매개변수를 갖는 시스템—예를 들어 유체역학 및 강체—에 대한 변분 프레임워크를 수립한다. 라그랑주 축소로부터 유도된 축소된 운동 방정식이 직접적인 오일러-파ون카레 수식과 동일한 방정식을 회복함을 증명하고, 이러한 시스템에서의 순환에 대한 일반적인 켈빈-노에르 정리도 유도한다.

ABSTRACT

There is a well developed and useful theory of Hamiltonian reduction for semidirect products, which applies to examples such as the heavy top, compressible fluids and MHD, which are governed by Lie-Poisson type equations. In this paper we study the Lagrangian analogue of this process and link it with the general theory of Lagrangian reduction; that is the reduction of variational principles. These reduced variational principles are interesting in their own right since they involve constraints on the allowed variations, analogous to what one finds in the theory of nonholonomic systems with the Lagrange d'Alembert principle. In addition, the abstract theorems about circulation, what we call the Kelvin-Noether theorem, are given.

연구 동기 및 목표

• 반직접곱 대칭성을 갖는 시스템에 대한 체계적인 라그랑주 축소 이론을 개발하여, 잘 알려진 리-포아송 해밀토니안 시스템에 대한 해밀턴형 축소를 확장한다.
• 리 대수에 이송 매개변수를 포함하는 오일러-파운카레 방정식에 대한 변분 원리를 수립하여, 비환원성 역학에서의 라그랑주-다암베르 원리와 유사한 형태를 갖춘다.
• 유체의 코어시비티 또는 자기 유량과 같은 대칭성과 이송 물리량을 갖는 시스템에서 순환에 대한 일반 켈빈-노에르 정리를 도출한다.
• 라그랑주 프레임워크에서 유도된 축소된 오일러-라그랑주 방정식이 힘과 이송 매개변수를 포함한 표준 오일러-파운카레 방정식을 재현함을 보인다.
• 유체역학과 강체역학의 기하학적 및 변분적 구조를 반직접곱 축소의 라그랑주 역학 프레임워크를 통해 통합한다.

제안 방법

• 리 대수 위에서 변분 원리로부터 유도된, 리-포아송 해밀토니안 시스템의 라그랑주적 대응체로 작용하는 오일러-파운카레 방정식의 사용.
• 반직접곱의 구조를 갖는 주기저다발의 대칭성에 의한 라그랑주 축소 적용으로, 단순화된 축소된 라그랑주언니를 얻기 위해 평탄한 접속을 사용한다.
• 이송 매개변수 $ a $ 와 $ v $ 를 포함한 다발 $ Q \times V^* \times V \times \mathfrak{g} $ 위에서 축소된 라그랑주언니 $ l^V $ 의 구성으로, $ \langle a, \dot{v} + \xi v \rangle $ 를 통한 결합을 수립한다.
• 내재적 및 좌표 기반의 표현을 사용하여 축소된 오일러-라그랑주 방정식 유도로 수평 및 수직 성분의 운동을 구분한다.
• 수직 운동 방정식을 표현하기 위해 고정된 작용과 코고정 작용 $ \mathrm{ad}^* $ 의 사용으로 오일러-파운카레 형태와의 일致를 확보한다.
• 수직 방정식의 우변이 코고정 작용의 구조와 $ a $, $ v $ 의 운동 방정식에 의해 항등적으로 0이 됨을 보여, 일致성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반직접곱 대칭성을 갖는 라그랑주 축소의 맥락에서 오일러-파운카레 방정식은 어떻게 변분 원리로부터 도출될 수 있는가?
• RQ2 유체의 코어시비티나 자기장과 같은 이송 매개변수의 축소된 라그랑주언니에서의 역할은 무엇이며, 어떻게 동역학과 결합되는가?
• RQ3 라그랑주 축소 프레임워크는 힘을 포함한 직접적인 오일러-파운카레 수식과 동일한 방정식을 어떻게 재현하는가?
• RQ4 이 라그랑주적 맥락에서 켈빈-노에르 정리의 기하학적 기원은 무엇이며, 어떻게 순환 정리들을 일반화하는가?
• RQ5 접속의 선택(예: 평탄한 접속)은 축소된 방정식의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 라그랑주언니 $ l^V $ 로부터 유도된 축소된 오일러-라그랑주 방정식은 힘과 이송 매개변수를 포함한 표준 오일러-파운카레 방정식을 재현한다.
• 축소된 시스템에서 $ q $, $ a $, $ v $ 의 수평 방정식은 원래의 오일러-라그랑주 방정식과 동치이며, 이송 매개변수의 정확한 운동을 유도한다.
• 수직 방정식 $ \xi $ 는 $ \frac{d}{dt}\frac{\partial l}{\partial\xi} - \mathrm{ad}^*_{\xi}\frac{\partial l}{\partial\xi} - \frac{\partial l}{\partial a} \diamond a = 0 $ 으로 간소화되며, 이는 힘을 포함한 오일러-파운카레 방정식과 일치한다.
• 수직 방정식의 우변은 코고정 작용의 구조와 $ a $, $ v $ 의 운동 방정식에 의해 항등적으로 0이 되며, 이는 일치성을 확인한다.
• 켈빈-노에르 정리는 대칭성과 변분적 구조의 결과로서 도출되며, 순환을 운동량 맵과 리 대수 작용과 연결한다.
• 이 프레임워크는 무거운 톱, 압축성 유체, MHD와 같은 시스템의 역학을 하나의 기하학적 및 변분적 축소 체계로 통합한다.