[논문 리뷰] Lagrangian solutions to the 2D euler system with L^1 vorticity and infinite energy

Anna Bohun, François Bouchut외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 18.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초기 코어티시티가 $L^1(\mathbb{R}^2)$에 속할 경우, 즉 운동 에너지가 무한할 수 있는 설정에서 2차원 비압축성 옐러 방정식의 라그랑주 해의 존재성과 강한 안정성을 확립한다. 최근에 발전된 특이 적분을 포함하는 벡터장에 대한 정규 라그랑주 흐름 이론을 활용하여, 초기 코어티시티의 $L^1$ 약한 수렴이 관련된 흐름과 해의 강한 수렴을 유도함으로써, 유한 에너지 범위를 초월한 무한 에너지 영역으로의 잘 정의된 문제의 확장을 실현한다.

ABSTRACT

We consider solutions to the two-dimensional incompressible Euler system with only integrable vorticity, thus with possibly locally infinite energy. With such regularity, we use the recently developed theory of Lagrangian flows associated to vector fields with gradient given by a singular integral in order to define Lagrangian solutions, for which the vorticity is transported by the flow. We prove strong stability of these solutions via strong convergence of the flow, under only the assumption of L^1 weak convergence of the initial vorticity. The existence of Lagrangian solutions to the Euler system follows for arbitrary L^1 vorticity. Relations with previously known notions of solutions are established.

연구 동기 및 목표

• 초기 코어티시티가 $L^1(\mathbb{R}^2)$에 속할 경우, 즉 국소적 또는 전역적으로 무한한 운동 에너지를 가질 수 있는 설정에서 2차원 옐러 방정식의 해에 대한 엄밀한 존재 이론을 수립하는 것.
• 낮은 정규성 조건에서 코어티시티가 속도장에 의해 운반되는 흐름과 연관된 라그랑주 해를 정의하고 연구하는 것.
• 초기 코어티시티의 $L^1$ 약한 수렴에 따라 해와 흐름의 강한 수렴을 보장하는 이러한 해의 강한 안정성을 입증하는 것.
• 라그랑주 해와 이전에 알려진 해 개념들(예: 재정규화된 해, 대칭화된 해) 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 기존의 $L^\infty$ 또는 $L^p$ 코어티시티 가정을 초월하여 전체 $L^1$ 클래스로의 고전적 잘 정의된 문제 프레임워크를 확장하는 것, 비로소 비유한성 및 무한 에너지 초기 자료를 포함한다.

제안 방법

• 코어티시티가 $L^1(\mathbb{R}^2)$일 경우, 바이오-사바르 법칙을 통해 생성된 속도장에 관련된 정규 라그랑주 흐름 이론을 통해 라그랑주 해를 정의하는 것.
• 특이 적분을 포함하는 기울기가 있는 정규 라그랑주 흐름에 대한 사전 오차 추정치를 [8]에서 개발한 바를 활용하여, 흐름과 속도의 행동을 통제하는 것.
• 초기 자료를 $L^1$에서 평활화하여 근사 해를 구성하는 것. 평활화된 코어티시티가 여전히 $L^1$에 속하고, 속도장이 바이오-사바르 커널과의 컨볼루션을 통해 잘 정의되도록 보장하는 것.
• 초기 코어티시티가 $L^1$에서 약하게 수렴할 경우, 평활화된 흐름과 속도가 $C([0,T];L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$에서 강하게 수렴함을 증명하는 것.
• 극한에 도달하기 위해 핵심 도구로 대칭화된 코어티시티 공식을 도입하고, 극한 해가 대칭화된 약한 공식을 만족함을 검증하는 것.
• 라그랑주 대칭화 해의 개념을 도입한다. 이는 라그랑주 운반과 대칭화된 코어티시티 공식을 동시에 만족하는 해로서, 여러 해 개념을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 코어티시티가 오직 $L^1(\mathbb{R}^2)$에 속할 경우, 유한한 운동 에너지를 가정하지 않고도 2차원 옐러 방정식에 대해 라그랑주 해를 엄밀히 정의하고 구성할 수 있는가?
• RQ2 초기 코어티시티의 $L^1$ 약한 수렴이 관련된 라그랑주 흐름과 해의 강한 수렴을 유도하는가?
• RQ3 낮은 정규성 조건에서 라그랑주 해는 이전에 알려진 해 개념들(예: 재정규화된 해, 대칭화된 해)보다 동치이거나 더 강력한가?
• RQ4 코어티시티나 속도에 대한 $L^2$ 또는 $L^p$ 유계성 조건 없이도 $L^1$ 코어티시티 영역에서 해의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 대칭화된 코어티시티 공식은 $L^1$ 설정에서 해의 수열의 컴팩턴스와 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 초기 코어티시티가 $L^1(\mathbb{R}^2)$에 속할 경우, 즉 초기 운동 에너지가 무한하더라도 라그랑주 해가 존재한다.
• 이러한 해의 강한 안정성이 입증된다: 초기 코어티시티가 $L^1$에서 약하게 수렴하면, 관련된 흐름과 해는 $C([0,T];L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$에서 강하게 수렴한다.
• 평활화된 해의 극한은 라그랑주 대칭화 해이며, 이는 라그랑주 운반과 대칭화된 코어티시티 공식을 모두 만족한다.
• 추가로 $v^0 \in L^2_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2)$ 조건을 가정할 경우, 극한 속도장은 $L^\infty((0,T);L^2_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$에 속하고, 해는 약한 속도 공식을 만족한다.
• 대칭화된 코어티시티 공식은 극한에서 유지되며, $\omega_n(t,x)\omega_n(t,y)$의 $L^1(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2)$에서의 약한 수렴으로 인해 비선형 항이 수렴한다.
• 이론은 라그랑주, 재정규화된, 대칭화된 해 개념을 통합한다: 모든 라그랑주 해는 자동으로 재정규화된 해이며, 등가적 적분 조건이 만족되면 대칭화된 해이기도 하다.