[논문 리뷰] Lagrangian submanifolds in strictly nearly Kähler 6-manifolds

Hông Vân Lê, Lorenz Schwachhöfer|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 라그랑주 부분다양체의 평균 곡률과 마스лов 1형식 사이의 심플렉틱 쌍대성을 수립하고, 상대 캘리브레이션을 사용하여 체적의 이차 변동 공식을 유도하며, 실해석적 구조 하에서 무한소 라그랑주 변형이 매끄럽게 차단되는 것과 형식적으로 차단되는 것이 정확히 일치함을 증명한다. 또한 모듈리 공간에 대한 유한차원 국소 모델을 구축하고, 표준적인 거의 켈러 구조를 가진 S⁶에서의 라그랑주 부분다양체에 결과를 적용한다.

ABSTRACT

Lagrangian submanifolds in strict nearly K\ahler 6-manifolds are related to special Lagrangian submanifolds in Calabi-Yau 6-manifolds and coassociative cones in $G_2$-manifolds. We prove that the mean curvature of a Lagrangian submanifold $L$ in a nearly K\ahler manifold $(M^{2n}, J, g)$ is symplectically dual to the Maslov 1-form on $L$. Using relative calibrations, we derive a formula for the second variation of the volume of a Lagrangian submanifold $L^3$ in a strict nearly K\ahler manifold $(M^6, J, g)$. This formula implies, in particular, that any formal infinitesimal Lagrangian deformation of $L^3$ is a Jacobi field on $L^3$. We describe a finite dimensional local model of the moduli space of compact Lagrangian submanifolds in a strict nearly K\ahler 6-manifold. We show that there is a real analytic atlas on $(M^6, J, g)$ in which the strict nearly K\ahler structure $(J, g)$ is real analytic. Furthermore, w.r.t. an analytic strict nearly K\ahler structure the moduli space of Lagrangian submanifolds of $M^6$ is a real analytic variety, whence infinitesimal Lagrangian deformations are smoothly obstructed if and only if they are formally obstructed. As an application, we relate our results to the description of Lagrangian submanifolds in the sphere $S^6$ with the standard nearly K\ahler structure described in \cite{Lotay2012}.

연구 동기 및 목표

• 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서의 라그랑주 부분다양체의 기하학적 및 해석적 성질, 특히 변형 이론을 이해하는 것.
• 이러한 부분다양체의 평균 곡률 1형식과 라그랑주 다양체 위의 마스볼 1형식 사이의 심플렉틱 쌍대성을 수립하는 것.
• 거의 켈러 기하학의 맥락에서 상대 캘리브레이션을 사용하여 체적의 이차 변동 공식을 도출하는 것.
• 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 컴팩트 라그랑주 부분다양체의 모듈리 공간에 대한 유한차원 국소 모델을 구축하는 것.
• 실해석적 거의 켈러 구조 하에서 라그랑주 변형에 대한 매끄러운 차단 조건과 형식적 차단 조건이 정확히 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 3차원 라그랑주 부분다양체의 체적에 대한 이차 변동 공식을 상대 캘리브레이션을 통해 유도하는 것.
• 거의 켈러 구조를 통해 라그랑주 다양체의 평균 곡률 1형식과 그 마스볼 1형식 사이의 심플렉틱 쌍대성을 수립하는 것.
• 거의 켈러 다양체 위에 실해석적 아틀라스를 구성하여 거의 켈러 구조가 실해석적임을 보장하는 것.
• 실해석적 다양체 이론을 적용하여 실해석적 구조 하에서 라그랑주 부분다양체의 모듈리 공간이 실해석적 다양체임을 보이는 것.
• 실해석적 프레임워크를 사용하여 라그랑주 변형에 대한 매끄러운 차단 조건이 형식적 차단 조건과 정확히 일치함을 증명하는 것.
• Lotay (2012)에서 연구된 표준적인 거의 켈러 구조를 가진 6차원 구 S⁶에 결과를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 라그랑주 부분다양체의 평균 곡률은 그 마스볼 1형식과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 라그랑주 3식의 체적에 대한 이차 변동 공식은 무엇인가?
• RQ3 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 컴팩트 라그랑주 부분다양체의 모듈리 공간은 국소적으로 유한차원 실해석적 다양체로 모델링될 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 라그랑주 변형에 대한 매끄러운 차단 조건과 형식적 차단 조건이 일치하는가?
• RQ5 결과는 표준적인 거의 켈러 구조를 가진 S⁶에서의 라그랑주 부분다양체에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 엄격한 거의 켈러 다양체에서 라그랑주 부분다양체의 평균 곡률 1형식은 그 부분다양체 위의 마스볼 1형식과 심플렉틱 쌍대이다.
• 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 라그랑주 3식의 체적에 대한 이차 변동은 상대 캘리브레이션을 통해 유도된 공식에 의해 지배되며, 이는 모든 형식적 무한소 라그랑주 변형이 자코비 장임을 시사한다.
• 엄격한 거의 켈러 6차원 다양체에서 컴팩트 라그랑주 부분다양체의 모듈리 공간에 대한 유한차원 국소 모델이 존재한다.
• 거의 켈러 6차원 다양체 위에 실해석적 아틀라스가 존재하여 거의 켈러 구조가 실해석적임을 보장한다.
• 그러한 분석 구조에 대해, 라그랑주 부분다양체의 모듈리 공간은 실해석적 다양체이므로, 변형에 대한 매끄러운 차단 조건과 형식적 차단 조건이 정확히 일치한다.
• 결과는 표준적인 거의 켈러 구조를 가진 S⁶에서의 라그랑주 부분다양체에 적용되어, 그들의 연구를 위한 기하학적 프레임워크를 제공한다.