[논문 리뷰] Lagrangian theory of structure formation in pressure-supported cosmological fluids

Susanne Adler, Thomas Buchert|arXiv (Cornell University)|1998. 06. 24.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 1인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 압력에 의해 지지되는 유체로 천체 구조 형성의 제르드비치 라그랑주 근사법을 확장하여, 밀도에 의존하는 등방성 압력이 있는 라그랑주 유체역학 프레임워크를 유도한다. 알려진 오일러 선형 해를 기반으로 한차 비선형 해를 생성하는 제도를 도입함으로써, 점성력이 포함된 점성력 근사법을 일반화하고 약한 비선형 영역에서 다중 흐름 역학을 모델링할 수 있게 한다.

ABSTRACT

The Lagrangian theory of structure formation in cosmological fluids, restricted to the matter model ``dust'', provides successful models of large-scale structure in the Universe in the laminar regime, i.e., where the fluid flow is single-streamed and ``dust''-shells are smooth. Beyond the epoch of shell-crossing a qualitatively different behavior is expected, since in general anisotropic stresses powered by multi-stream forces arise in collisionless matter. In this paper we provide the basic framework for the modeling of pressure-supported fluids, thus restricting attention to isotropic stresses and to the cases where pressure can be given as a function of the density. We derive the governing set of Lagrangian evolution equations and study the resulting system using Lagrangian perturbation theory. We discuss the first-order equations and compare them to the Eulerian theory of gravitational instability, as well as to the case of plane-symmetric collapse. We obtain a construction rule that allows to derive first-order solutions of the Lagrangian theory from known first-order solutions of the Eulerian theory and so extend Zel'dovich's extrapolation idea into the multi-streamed regime. These solutions can be used to generalize current structure formation models in the spirit of the ``adhesion approximation''.

연구 동기 및 목표

• 등방성 압력을 갖는 천체 유체의 구조 형성에 대한 라그랑주 프레임워크를 개발하여, 먼지 모델을 초월한다.
• 밀도에 의존하는 압력 항을 통해 비충돌성 시스템의 다중 흐름 힘의 영향을 현상학적으로 모델링한다.
• 약한 비선형 군집화에 대해 라그랑주 형식에 압력력을 포함시켜 점성력 근사법을 일반화한다.
• 기존 오일러 선형 해로부터 알려진 라그랑주 선형 해를 체계적으로 구성하는 방법을 수립한다.
• 라그랑주 섭동 이론을 사용하여 다중 흐름 영역에서 고리형 형성과 계층적 구조 성장을 모델링할 수 있는 기초를 마련한다.

제안 방법

• 등방성 응력과 밀도에 의존하는 압력 함수 $ p = \alpha(\varrho) $를 갖는 압력에 의해 지지되는 유체의 전체 라그랑주 진화 방정식을 유도한다.
• 라그랑주 섭동 이론을 적용하여 방정식을 선형화하고, 수정된 효과적 음속 $ c_s $ 를 갖는 밀도 대비 $ \delta $ 의 파동 유사 방정식을 도출한다.
• 제도를 수립: 알려진 오일러 선형 해 $ \delta^\ell(\@vec{q},t) $ 를 $ \@vec{q} \mapsto \@vec{X} $ 를 통해 라그랑주 해 $ P_i^L(\@vec{X},t) $ 로 매핑함으로써 방정식의 구조를 유지한다.
• 압력 항을 음속을 통해 표현하기 위해 $ \alpha' = c_s^2 $ 를 사용하여 선형화된 영역에서 유체역학적 유사성을 가능하게 한다.
• 선형화된 진화 방정식의 세 가지 동치 형태를 유도한다: 라그랑주 좌표계에서의 변형장 $ \@vec{P}^L $ 에 대한 하나, 평면 대칭 붕괴에 대한 하나, 오일러 공동 좌표계에서의 $ \delta $ 에 대한 하나.
• 시간 도함수 변환 $ \frac{d}{dt}\big|_{\@vec{X}} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}} $ 에서 라그랑주와 오일러 선형 이론 간의 등가성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 천체 유체에서 등방성 압력력이 포함된 라그랑주 구조 형성 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 압력에 의해 지지되는 유체의 선형화된 라그랑주 방정식과 표준 오일러 중력 불안정성 이론 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 라그랑주 프레임워크에서의 일차 비선형 해를 기존 오일러 선형 해로부터 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 밀도에 의존하는 압력 항의 포함이 고리형 형성과 다중 흐름 유동의 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 라그랑주 유체역학 모델을 통해 압력력을 포함한 점성력 근사법을 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 세로 변형 $ \@vec{P}^L $ 의 선형화된 라그랑주 진화 방정식은 $ \ddot{\@vec{P}}^{L} + 2\frac{\dot{a}}{a}\dot{\@vec{P}}^{L} - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}\@vec{P}}^{L} = \frac{\alpha'}{a^2}\@vec{\Delta}_{\@vec{0}}\@vec{P}}^{L} $ 로 주어지며, 이는 제르드비치 근사법에 압력을 포함시킨 일반화이다.
• 오일러 선형 이론에서의 밀도 대비 $ \delta $ 는 $ \frac{\partial^2}{\partial t^2}\big|_{\@vec{q}}\delta + 2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}}\delta - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}\delta = \left(\frac{c_s}{a}\right)^2\Delta_{\@vec{q}}\delta $ 를 만족하며, 여기서 $ c_s^2 = \alpha' $ 이다.
• 제도가 수립됨: 알려진 오일러 선형 해 $ \delta^\ell(\@vec{q},t) $ 는 $ \@vec{q} \mapsto \@vec{X} $ 를 통해 라그랑주 해 $ P_i^L(\@vec{X},t) $ 로 매핑될 수 있으며, 이는 점성력 근사법의 비선형 확장이 가능하게 한다.
• 특수 상태방정식 $ p = \frac{c_1}{\varrho} + c_2 $ 에서는 압력 항이 변형장에 대해 선형으로 유지되어 선형화된 방정식의 구조를 보존한다.
• 평면 대칭 붕괴 방정식 $ \ddot{P}_1 + 2\frac{\dot{a}}{a}\dot{P}_1 - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}P_1 = \frac{\alpha'}{a^2(1+P_{1|1})^2}P_{1|11} $ 는 압력이 일차원 붕괴에서도 비선형성을 유도함을 보여준다.
• 시간 도함수 변환 하에서 라그랑주와 오일러 선형 이론 간의 등가성은 프레임워크의 일관성을 확인하며, 존재하는 오일러 해를 비선형 라그랑주 모델의 구성 요소로 사용할 수 있음을 보여준다.