[논문 리뷰] Lah-Bell numbers and polynomials

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 27.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 8인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 선형적으로 순서가 매겨진 부분집합으로의 분할을 바탕으로 벨 수의 자연스러운 확장으로서 라-벨 수와 다항식을 도입하고, 그 생성함수, 재귀 관계, 스틸링 수 및 벨 다항식과의 관계를 유도한다. 또한 이러한 수와 다항식의 열악한 형태를 개발하여 열악한 벨 다항식과의 연결고리를 설정하고, 명시적 공식과 도빈스키 유사 항등식을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce the Lah-Bell numbers and their natural extensions, namely the Lah-Bell polynomials, and derive some basic properties of such numbers and polynomials by using elementary methods. In addition, we consider the degenerate Lah-Bell numbers and polynomials as degenerate versions of the Lah-Bell numbers and polynomials.

연구 동기 및 목표

• 선형적으로 순서가 매겨진 부분집합으로의 분할을 기반으로 하여, 벨 수의 조합론적 확장으로서 라-벨 수와 다항식을 정의하고 연구하는 것.
• 라-벨 다항식에 대한 생성함수, 명시적 공식, 재귀 관계를 수립하는 것.
• 라 수, 제1종 및 제2종 스틸링 수, 그리고 벨 다항식 간의 관계를 탐구하는 것.
• 기존의 라-벨 구조의 열악한 동반자로서 열악한 라-벨 수와 다항식을 도입하고 분석하는 것.
• 열악한 라-벨 다항식에 대한 명시적 표현과 생성함수를 유도하고, 이와 열악한 벨 다항식과의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• Lah 수 $ L(n,k) $를 사용하여 $ B_n^L = ∑_{k=0}^n L(n,k) $로 정의된 라-벨 수 $ B_n^L $를 정의한다. 여기서 $ L(n,k) $는 $ k $개의 선형적으로 순서가 매겨진 부분집합으로의 분할을 세는 무부호 라 수이다.
• 라-벨 수에 대한 지수 생성함수 $ \sum_{n=0}^\infty B_n^L \frac{t^n}{n!} = e^{\frac{t}{1-t}} $를 유도한다.
• 라-벨 다항식 $ B_n^L(x) $를 생성함수 $ \sum_{n=0}^\infty B_n^L(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left(\frac{1}{1-t} - 1\right)^x $를 통해 정의한다. 이는 라-벨 수를 일반화한다.
• 이변수 라-벨 다항식을 정의하고, 이들의 생성함수를 유도하며, 이들이 이변수 벨 다항식과 연결됨을 보인다.
• 열악한 지수 함수 $ e_\lambda^x(t) $를 사용하여 열악한 라-벨 다항식 $ B_{n,\lambda}^L(x) $를 정의한다. 생성함수는 $ \sum_{n=0}^\infty B_{n,\lambda}^L(x) \frac{t^n}{n!} = e_\lambda^x\left(\frac{1}{1-t} - 1\right) $이다.
• 명시적 공식 $ B_{n,\lambda}^L(x) = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_{k,\lambda} $를 유도한다. 여기서 $ (x)_{k,\lambda} $는 열악한 하강 계승계수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라-벨 수와 다항식의 생성함수와 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ2 라-벨 다항식은 고전적 벨 다항식과 스틸링 수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 열악한 라-벨 수와 다항식의 조합론적 및 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ4 열악한 라-벨 다항식은 열악한 벨 다항식과 어떻게 연결되는가?
• RQ5 라-벨 다항식의 재귀 관계와 미분 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 라-벨 수의 생성함수는 $ \sum_{n=0}^\infty B_n^L \frac{t^n}{n!} = e^{\frac{t}{1-t}} $이며, 이는 라 수의 지수 생성함수로부터 도출된다.
• 라-벨 다항식은 $ B_n^L(x) = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k $를 만족한다. 여기서 $ (x)_k $는 하강 계승계수이다.
• 라-벨 수에 대한 도빈스키 유사 공식은 관계 $ B_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} B_k^L S_2(n,k) $를 통해 확립되며, 이는 일반 벨 수와 연결된다.
• 이변수 라-벨 다항식이 정의되고, 그 생성함수가 도출되었으며, 이는 라거에르 다항식과의 콘볼루션 구조를 보여준다.
• 열악한 라-벨 다항식은 $ B_{n,\lambda}^L(x) = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_{k,\lambda} $로 주어지며, 여기서 $ (x)_{k,\lambda} $는 열악한 하강 계승계수이다.
• 열악한 라-벨 다항식과 열악한 벨 다항식을 연결하는 핵심 항등식은 $ B_{n,\lambda}(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} S_2(n,k) B_{k,\lambda}^L(x) $이며, 이중성으로서 $ B_{n,\lambda}^L(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} S_1(n,k) B_{k,\lambda}(x) $도 성립한다.