[논문 리뷰] Lambert series and q-functions near q=1

Shubho Banerjee, Blake Wilkerson|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 02.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 q=1 근처에서 라메르트 급수와 관련된 q-함수—예를 들어 q-감마, q-다이감마, q-포흐하머 심볼, 자코비 시타 함수—에 대한 완전한 점근 전개를 유도한다. 연산자 방법과 베르누이 다항식 및 허위츠 제타 함수와의 연결을 통해 매우 정밀한 닫힌 형태의 근사치를 도출하며, 상대 오차가 약 10^{-27}인 결과인 $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi}) \simeq 2\pi e^{-\pi^3/4}$를 포함한다.

ABSTRACT

We study the Lambert series $\mathscr{L}_q(s,x) = \sum_{k=1}^\infty k^s q^{k x}/(1-q^k)$, for all $s \in \mathbb{C}$. We obtain the complete asymptotic expansion of $\mathscr{L}_q(s,x)$ near $q=1$. Our analysis of the Lambert series yields the asymptotic forms for several related q-functions: the q-gamma and q-polygamma functions, the q-Pochhammer symbol, and, in closed form, the Jacobi theta functions. Some typical results include $Γ_2(\frac{1}{4}) Γ_2(\frac{3}{4}) \simeq \frac{2^{13/32} π}{\log 2}$ and $\vartheta_4 (0,e^{-1/π}) \simeq 2 πe^{-π^3\!/4}$, with relative errors of order $10^{-25}$ and $10^{-27}$ respectively.

연구 동기 및 목표

• q \to 1^{-}일 때 라메르트 급수 $\mathscr{L}_q(s,x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^s q^{kx}}{1-q^k}$의 완전한 점근 전개를 유도하는 것.
• 이러한 점근 결과를 q-감마, q-다이감마, q-포흐하머 심볼, 자코비 시타 함수와 같은 관련 q-함수로 확장하는 것.
• 특수값들에 대한 고정밀 근사치를 제공하는 것—예를 들어 $\Gamma_2(1/4)\Gamma_2(3/4)$와 $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi})$—상대 오차가 $10^{-25}$ 이하인 경우.
• 기존의 점근 결과들(예: 라메르트 급수에 대한 콘프의 결과, 오일러 함수에 대한 워터슨의 결과)을 도출된 전개의 특수한 경우로 통합 및 일반화하는 것.

제안 방법

• 라메르트 급수는 미분 연산자 $\frac{D}{e^D - 1}$를 통해 분석되며, 여기서 $D = \frac{d}{dx}$이며, 이는 베르누이 다항식과 허위츠 제타 함수와 연결된다.
• 점근 전개는 $x^{-s}$ 위에 연산자의 작용을 통해 유도되며, $q \to 1^{-}$일 때 $\mathscr{L}_q(s,x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{(1-q)^{1+s}} \right)$를 얻는다.
• q-포흐하머 심볼은 $\log(q^x;q)_\infty = -\mathscr{L}_q(-1,x)$를 통해 $\mathscr{L}_q(-1,x)$와 연결되며, 이는 오일러 함수의 점근 분석을 가능하게 한다.
• q-감마 및 q-다이감마 함수는 $\mathscr{L}_q(s,x)$를 통해 표현되며, 이는 주 전개로부터 그들의 점근 형태를 유도할 수 있음을 의미한다.
• 자코비 시타 함수는 자코비 삼중곱 항등식을 통해 q-포흐하머 심볼과 연결되며, 그 점근적 성질은 오일러 함수의 점근 형태로부터 도출된다.
• 최종적으로, 시타 함수의 점근 형태는 오일러 함수의 점근 전개에 $y = i2z / \log q$를 대입하고 hyperbolic 항등식을 사용하여 단순화함으로써 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q \to 1^{-}일 때, 모든 $s \in \mathbb{C}$에 대해 라메르트 급수 $\mathscr{L}_q(s,x)$의 완전한 점근 전개는 무엇인가?
• RQ2 q=1 근처에서 q-감마 및 q-다이감마 함수의 점근적 행동은 어떻게 라메르트 급수에서 도출할 수 있는가?
• RQ3 q \to 1^{-}일 때, 자코비 시타 함수 $\vartheta_3(z,q)$ 및 $\vartheta_4(z,q)$에 대한 고정밀 점근 근사치는 무엇인가?
• RQ4 기존의 오일러 함수 및 라메르트 급수에 대한 점근 결과들은 도출된 전개의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ5 특수값들—예를 들어 $\Gamma_2(1/4)\Gamma_2(3/4)$ 및 $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi})$—의 정확한 점근 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 라메르트 급수 $\mathscr{L}_q(s,x)$는 q=1 근처에서 완전한 점근 전개를 가지며, 원래 급수보다 수렴 속도가 훨씬 빠르다.
• q-감마 함수는 $\Gamma_q(x) \sim (1-q)^{1-x} \frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}$를 만족하며, 그 로그 도함수(즉, q-다이감마)는 $\mathscr{L}_q(0,x)$를 통해 표현된다.
• q-포흐하머 심볼 $\log(q^x;q)_\infty$는 점근적으로 $-\mathscr{L}_q(-1,x)$와 같으며, 이는 q=1 근처에서의 고정밀 평가를 가능하게 한다.
• 자코비 시타 함수 $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi})$는 상대 오차가 약 $10^{-27}$인 $\simeq 2\pi e^{-\pi^3/4}$로 근사된다.
• $\Gamma_2(1/4)\Gamma_2(3/4)$의 곱은 상대 오차가 약 $10^{-25}$인 $\simeq \frac{2^{13/32}\pi}{\log 2}$로 근사된다.
• 시타 함수의 로그 도함수는 hyperbolic 함수를 사용하여 점근적으로 근사되며, 예를 들어 $\frac{\vartheta_2'(z,q)}{\vartheta_2(z,q)} \simeq \frac{1}{\log q} \left[ 2(z_\pi - \pi/2) + \pi \coth\left( \frac{\pi(z_\pi - \pi/2)}{\log q} \right) \right]$이다.