[논문 리뷰] LAN property for some fractional type Brownian motion

Serge Cohen, Fabrice Gamboa외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 영역이 0에 가까울 때 거듭제곱 법칙 행동을 보이는 스펙트럴 밀도를 갖는 가우시안 과정의 한 클래스에 대해 국소 점근 정규성(LAN) 성질을 수립한다. 특히 $ f_\theta(x) \sim |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ 이며 $ \alpha(\theta) < 1 $ 인 경우이다. 저자들은 토플리츠 행렬의 스펙트럴 노름 제어를 이용해 로그우도의 점근 전개를 유도하여, 분수 차수 브라운 운동의 증분과 ARFIMA 과정에 대해 정규성 조건이 만족될 경우 LAN을 증명한다.

ABSTRACT

We study asymptotic expansion of the likelihood of a certain class of Gaussian processes characterized by their spectral density $f_θ$. We consider the case where $f_θ\PAR{x} \sim_{x o 0} \ABS{x}^{-\al(θ)}L_θ(x)$ with $L_θ$ a slowly varying function and $\al\PARθ\in (-\infty,1)$. We prove LAN property for these models which include in particular fractional Brownian motion %$B^α_t,\: α\geq 1/2$ or ARFIMA processes.

연구 동기 및 목표

• 영역이 0에 가까울 때 특이 스펙트럴 밀도를 갖는 정상적 가우시안 과정의 국소 점근 정규성(LAN) 성질을 수립하는 것.
• 분수 차수 가우시안 노이즈에서의 LAN 결과를 시간 이산화된 분수 차수 브라운 운동과 같은 비정상 모델로 확장하는 것.
• ARFIMA(p,d,q) 과정이 요구되는 스펙트럴 조건을 만족하고, 따라서 LAN 성질을 상속할 수 있는지 확인하는 것.
• 스펙트럴 점근적 분석을 활용해 장기 기억성과 자기유사 과정에서의 점근적 우도 분석을 위한 일반적 프레임워크를 제공하는 것.
• 역 및 제곱근 토플리츠 행렬의 곱에 대한 스펙트럴 노름 경계를 통해 로그우도의 고차 도함수를 제어하는 것.

제안 방법

• 관측 모델 $ \mathbf{X}_n = (X_1, \dots, X_n) $ 에 대해 로그우도 함수의 점근 전개를 유도하며, $ x \to 0 $ 일 때 스펙트럴 밀도 $ f_\theta(x) \sim |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ 를 기반으로 한다.
• 결과 [16]과 보조정리 2.1에 기반하여, $ f $ 와 $ g $ 가 스펙트럴 밀도일 때 형태 $ T_n(f)^{-1/2}T_n(g)^{1/2} $ 의 스펙트럴 노름 추정치를 사용한다.
• 결과 [16]의 정리 2.3과 정리 2.5를 적용하여, 역 및 도함수 토플리츠 행렬의 곱의 트레이스를 제어하고, $ n $ 과 $ \theta $ 에 대해 균일한 유계성을 확보한다.
• 스펙트럴 노름 부등식을 사용하여 $ L^2 $-노름을 유계화함으로써 로그우도 함수의 세 번째 도함수 $ \partial^3 F_n / \partial \theta_k^3 $ 를 제어한다.
• 국소 점근 정규성(LAN)의 구조를 확인하기 위해, $ P^n_{\theta_0} $ 하에서 스케일링된 잔여항의 거의 확실 수렴을 확립한다.
• 가우시안 벡터에 대한 강한 대수법칙을 사용하여, $ \|T_n(f_{\theta_0})^{-1/2}x_n\|^2 / n \to 1/\pi $ 가 거의 확실히 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 밀도가 영역이 0에 가까울 때 $ |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ 와 같이 행동하고 $ \alpha(\theta) < 1 $ 인 가우시안 과정에 대해 LAN 성질이 성립하는가?
• RQ2 정상적 분수 차수 가우시안 노이즈에서의 LAN 성질을 시간 이산화된 분수 차수 브라운 운동과 같은 비정상 모델로 확장할 수 있는가?
• RQ3 모수 $ d \in (-\infty, 1) $ 인 ARFIMA(p,d,q) 과정이 LAN을 위해 요구되는 스펙트럴 조건을 만족하는가?
• RQ4 이러한 모델에서 로그우도의 세 번째 도함수의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ5 거듭제곱 법칙 스펙트럴 가정 하에 $ T_n(f)^{-1/2} $ 과 $ T_n(f)^{1/2} $ 를 포함하는 행렬 곱에 대한 균일한 스펙트럴 노름 경계를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 스펙트럴 밀도 $ f_\theta(x) \sim |x|^{-\alpha(\theta)}L_\theta(x) $ 를 갖는 가우시안 과정의 클래스에 대해, $ x \to 0 $ 일 때 $ \alpha(\theta) < 1 $ 이고 $ L_\theta $ 가 천천히 변화하는 함수이면 LAN 성질이 성립한다.
• 분수 차수 가우시안 노이즈(분수 차수 브라운 운동의 증분)에 대해, 조건 $ \alpha(\theta) < 1 $ 이 만족될 경우 LAN 성질이 성립하며, 이는 허스트 매개수 $ H \in (0,1) $ 와 대응된다.
• 비정상적인 시간 이산화된 분수 차수 브라운 운동에 대해서도, 그 정상적인 증분을 분석함으로써 LAN 성질이 확장된다.
• ARFIMA(p,d,q) 과정은 $ d < 1 $ 일 때 요구되는 스펙트럴 조건을 만족하며, 이는 $ d \leq -1 $ 인 경우도 포함되나, 비가역성 문제가 발생할 수 있다.
• 로그우도의 세 번째 도함수 $ \partial^3 F_n / \partial \theta_k^3 $ 는 $ \frac{1}{n^{3/2}} \sup_\theta |\partial^3 F_n / \partial \theta_k^3| \to 0 $ 이 $ P^n_{\theta_0} $ 하에서 거의 확실히 성립함을 확인하여, LAN 잔여항 조건이 확인된다.
• 레미마 2.1을 통해 $ \|T_n(f_\theta)^{-1/2}T_n(f_{\theta_0})^{1/2}\|_{2,n} $ 에 대한 균일한 스펙트럴 노름 경계를 확립하였으며, 성장률이 $ n^{3\varepsilon} $ 으로 제어되어 수렴 분석이 가능해진다.