[논문 리뷰] Landau meets Newton: time translation symmetry breaking in classical mechanics

Liu Zhao, Wei Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 29.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고전역학에서 해밀토니안을 표준 해밀토니안의 제곱으로 정의하는 비표준 해밀토니안 형식을 제안한다. 이 경우 잠재력이 음수가 되면 자발적인 시간 이동 대칭성의 위반이 발생한다. 이는 랑두의 2차 상전이 이론과 직접적인 유사성을 가지며, ΛCDM 우주론 모델을 시간 이동 대칭성이 깨진 기본 상태로 재구성한다.

ABSTRACT

Every classical Newtonian mechanical system can be equipped with a nonstandard Hamiltonian structure, in which the Hamiltonian is the square of the canonical Hamiltonian up to a constant shift, and the Poisson bracket is nonlinear. In such a formalism, time translation symmetry can be spontaneously broken, provided the potential function becomes negative. A nice analogy between time translation symmetry breaking and the Landau theory of second order phase transitions is established, together with several example cases illustrating time translation breaking ground states. In particular, the $Λ$CDM model of FRW cosmology is reformulated as the time translation symmetry breaking ground states.

연구 동기 및 목표

• 비표준 해밀토니안 구조를 통해 뉴턴 역학 시스템에서 시간 이동 대칭성 위반이 발생할 수 있음을 보여주기 위해.
• 시간 이동 대칭성 위반과 랑두의 2차 상전이 이론 간의 공식적 유사성을 수립하기 위해.
• 역전된 조화 진동자 잠재력과 함께 ΛCDM 모델을 시간 이동 대칭성이 깨진 기본 상태로 재구성하기 위해.
• 음수 잠재력이 있는 고전 시스템에서 시간 이동 대칭성 위반이 어떻게 동역학적으로 나타나는지 탐색하기 위해.
• 양자 중력 및 우주론 모델, 특히 웨일러-데위트 방정식과 관련하여 정보를 제공할 수 있는 고전역학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 표준 해밀토니안 형식과 동일한 뉴턴 역학을 기술하기 위해 비표준 해밀토니안 $ H_2 = (H_1)^2 + E_0 $ 를 도입한다. 여기서 $ H_1 $ 은 표준 해밀토니안이다.
• 표준 해밀토니안의 $ \{x,v\}_1 = 1 $ 과는 다름없이 비선형 포아송 괄호 $ \{x,v\}_2 = \frac{1}{v^2 + 2U(x)} $ 를 사용하여 수정된 해밀토니안과의 일관성을 유지한다.
• 제곱된 해밀토니안 $ H_2 $ 에 대해 랑두 유형의 자유 에너지 최소화를 적용하여 잠재력의 부호를 상전이의 온도와 유사한 질서 매개변수로 간주한다.
• 음수 잠재력이 있는 시스템의 기본 상태 조건 $ H_2 = 0 $ 을 분석하여 이 조건이 시간 이동 대칭성이 깨진 상에 해당함을 보여준다.
• 역전된 조화 진동자 잠재력과 함께 Λ 와 공간 곡률 $ k $ 를 포함한 프리드만-로버트슨-워커 (FRW) 우주론 모델을 기계적 시스템으로 재구성한다.
• ΛCDM 모델이 $ H_2 = 0 $ 인 기본 상태로 나타나며, 이 경우 $ k \leq 0 $ 이어야 일관성이 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 해밀토니안 형식을 통해 고전 뉴턴 역학 시스템에서 시간 이동 대칭성이 자발적으로 위반될 수 있는가?
• RQ2 시간 이동 대칭성 위반과 랑두의 2차 상전이 이론 간의 유사성은 고전역학에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 어떤 조건에서 고전 시스템에서 시간 이동 대칭성 위반이 동역학적으로 나타나는가?
• RQ4 고전역학적 프레임워크에서 ΛCDM 우주론 모델을 시간 이동 대칭성이 깨진 기본 상태로 일관되게 기술할 수 있는가?
• RQ5 비선형 포아송 괄호와 제곱 해밀토니안은 시간 이동 대칭성 위반을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 잠재력 함수가 음수가 되면, 비표준 해밀토니안 $ H_2 = (H_1)^2 + E_0 $ 과 비선형 포아송 괄호를 사용하는 한에서 시간 이동 대칭성 위반이 고전 시스템에서 발생한다.
• 시스템의 기본 상태는 $ H_2 = 0 $ 에 해당하며, 이는 표준 해밀토니안 $ H_1 $ 이 0이 될 때 달성되며, 이는 시간 이동 대칭성이 깨진 상에 해당한다.
• FRW 우주론의 ΛCDM 모델은 역전된 조화 진동자 잠재력과 함께 기계적 시스템으로 재구성되며, 이 경우 기본 상태 조건 $ H_2 = 0 $ 은 $ \Lambda > 0 $ 인 디Sitter 우주에 해당한다.
• 기본 상태가 존재하기 위해서는 공간 곡률 $ k $ 가 비양수여야 하며, 바람직하게는 0이어야 하며, 이는 $ H_2 = 0 $ 조건과의 일관성을 확보한다.
• 우주론 모델에 대해 비표준 해밀토니안 형식이 표준 해밀토니안보다 더 자연스럽다. 이는 웨일러-데위트 방정식과 일반 상대성 이론의 해밀토니안 제약과 일치하기 때문이다.
• 시간 이동 대칭성 위반의 메커니즘은 동역학적으로 접근 가능하다. 초기 조건은 대칭성을 유지할 수 있지만, 시스템은 대칭성이 깨진 상으로 진화할 수 있다.