[논문 리뷰] Langevin equation with nonlocal boundary conditions involving a $\psi$--Caputo fractional operator

Arjumand Seemab, Jehad Alzabut외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 31.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ψ-Caputo 분수계 도함수를 포함하는 비국소 경계 조건을 가진 일반화된 Langevin 방정식을 연구한다. 고정점 정리(크라스노셀스키 및 반바흐)를 이용하여 해의 존재성과 유일성을 확립하고, ψ-분수계 그론발레 부등식과 부분적 적분을 활용하여 Ulam–Hyers 및 Ulam–Hyers–Rassias 안정성을 입증한다. 기존 문헌을 일반화하기 위해 분수계 연산자에 일반 함수 ψ를 통합함으로써 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

This paper studies Langevin equation with nonlocal boundary conditions involving a $\psi$--Caputo fractional derivatives operator. By the aide of fixed point techniques of Krasnoselskii and Banach, we derive new results on existence and uniqueness of the problem at hand. Further, the $\psi $-fractional Gronwall inequality and $\psi $--fractional integration by parts are employed to prove Ulam--Hyers and Ulam--Hyers--Rassias stability for the solutions. Examples are gifted to demonstrate the advantage of our major results. The proposed results here are more general than the existing results in the literature and obtain them as particular cases.

연구 동기 및 목표

• 일반 ψ-Caputo 분수계 도함수 연산자를 도입함으로써 분수계 Langevin 방정식 이론을 확장하는 것.
• 비선형 Langevin 방정식에 대한 비국소 경계 조건을 가진 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• ψ-분수계 적분 및 미분 부등식을 활용하여 Ulam–Hyers 및 Ulam–Hyers–Rassias 안정성을 조사하는 것.
• 기존 결과를 일반화하여 다양한 분수계 도함수 모델(Caputo, Hadamard, Erdélyi–Kober 등)을 특수한 경우로 포함하는 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 기존 분수계 미적분학을 일반화하기 위해 ψ-Caputo 분수계 도함수 및 ψ-분수계 적분 연산자를 사용한다.
• 해의 유일성은 반바흐 고정점 정리를, 존재성은 크라스노셀스키의 고정점 정리를 적용하여 입증한다.
• 안정성 특성을 분석하기 위해 새로운 ψ-분수계 그론발레 부등식을 도입한다.
• ψ-분수계 적분의 부분적 적분을 활용하여 안정성 추정치를 유도하고 해의 편차를 제한한다.
• 문제의 선형 및 비선형 변형에 대해 명시적인 해 형태를 유도한다.
• 이론적 결과를 검증하기 위해 적용 가능성과 일관성을 보여주는 구체적인 예시를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 경계 조건을 가진 ψ-Caputo 분수계 Langevin 방정식이 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 어떤 방식으로 이러한 분수계 시스템에 대해 Ulam–Hyers 및 Ulam–Hyers–Rassias 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 제안된 결과가 Caputo 또는 Riemann–Liouville 도함수를 포함하는 기존 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 함수 ψ는 다양한 분수계 도함수 모델을 하나의 프레임워크 안에서 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비국소 경계 조건은 해의 구조와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비선형 항에 대한 온건한 리프시츠 조건과 연속성 조건 하에서 반바흐 고정점 정리를 활용하여 문제는 고유한 해를 갖는다.
• 적절한 성장 및 컴팩턴스 조건 하에서 크라스노셀스키의 고정점 정리를 활용하여 최소한 하나의 해가 존재함을 입증한다.
• 해는 Ulam–Hyers 안정성을 갖는다. 즉, 방정식에 대한 작은 변동이 해의 편차를 균일하게 유 bounds 한다.
• 해는 일반화된 Ulam–Hyers–Rassias 안정성 또한 갖는다. 이 경우 bound는 제어 함수에 따라 달라지며, 근사화에 대한 강건성을 확인한다.
• ψ-분수계 그론발레 부등식은 안정성 추정치 유도 및 해 차이의 제한에 핵심적인 역할을 한다.
• 구체적인 예시를 통해 이론적 결과가 유의미하고 적용 가능함을 검증하였다.