[논문 리뷰] Languages Given by Finite Automata over the Unary Alphabet

Czerwiński, Wojciech, Dębski, Maciej외 6명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

semigroups and automata theory인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 단일 알파벳 위에서 유한 오토마타의 결정 문제와 정규 연산에 대해 향상된 알고리즘과 복잡도 상한을 제시한다. 단일 알파벳 NFA에 대한 포함 및 동일성 검사에서 시간 복잡도를 2^O((n log n)^1/2)에서 2^O((n log n)^1/3)로 감소시켜 상당한 속도 향상을 이룬다. 또한 단일 알파벳 UFA의 부울 연산에 대해 준다항식 상태 상한을 확립하면서, 지수 시간 가설 하에서 연결 및 ω-어휘 멤버십 문제에 대해 지수하한을 제시한다.

ABSTRACT

This paper studies the complexity of operations on finite automata and the complexity of their decision problems when the alphabet is unary. Let $n$ denote the maximum of the number of states of the input finite automata considered in the corresponding results. The following main results are obtained: (1) Given two unary NFAs recognising $L$ and $H$, respectively, one can decide whether $L \subseteq H$ as well as whether $L = H$ in time $2^{O((n \log n)^{1/3})}$. The previous upper bound on time was $2^{O((n \log n)^{1/2})}$ as given by Chrobak (1986), and this bound was not significantly improved since then. (2) Given two unary UFAs (unambiguous finite automata) recognising $L$ and $H$, respectively, one can determine a UFA recognising $L \cup H$ and a UFA recognising complement of $L$, where these output UFAs have the number of states bounded by a quasipolynomial in $n$. However, in the worst case, a UFA for recognising concatenation of languages recognised by two $n$-state UFAs, uses $2^{Θ((n \log^2 n)^{1/3})}$ states. (3) Given a unary language $L$, if $L$ contains the word of length $k$, then let $L(k)=1$ else let $L(k)=0$. Let $ω_L$ be the $ω$-word $L(0)L(1)\ldots$ and let $\cal L$ be a fixed $ω$-regular language. The last section studies how difficult it is to decide, given an $n$-state UFA or NFA

연구 동기 및 목표

• 단일 알파벳 비결정성 유한 오토마타(NFA)의 언어 포함 및 동일성 결정 문제의 시간 복잡도를 향상시키는 것.
• 단일 알파벳 불확실성 유한 오토마타(UFA)의 부울 연산(합집합, 교집합, 보완)의 상태 복잡도를 분석하는 것.
• 고정된 ω-정규 언어에 대해 단일 알파벳 NFA 또는 UFA가 ω-어휘를 생성하는지 여부를 결정하는 문제의 날카운 하한을 확립하는 것.
• 지수시간 가설(ETH)이 단일 알파벳 오토마타의 결정 문제 복잡도에 미치는 영향을 조사하는 것.

제안 방법

• 단일 알파벳 단어 길이의 수론적 성질과 오토마타 내 순환 구조를 활용하여 두 단일 알파벳 NFA를 비교하는 새로운 알고리즘을 설계한다.
• 소수와 모듈로 산술을 기반으로 한 구성 기법을 사용하여 UFA 내 순환 구조를 통해 1-in-3-SAT 인스턴스의 진리값 할당을 시뮬레이션한다.
• 각 절에서 정확히 한 개의 리터럴만을 만족시키는 조건을 만족시키는 경우에만 수락하는, 3-SAT 인스턴스의 무한 반복을 인코딩한 ω-어휘를 생성하는 UFA를 구축한다.
• 지수시간 가설(ETH)을 적용하여 3-occur 3SAT를 ω-어휘 멤버십 문제로 감소시켜 조건부 하한을 유도한다.
• UFA를 결정성 유한 오토마타(DFA)로 변환하고, 목표 ω-정규 언어를 위한 Muller 오토마타를 시뮬레이션하여 무한어 멤버십을 검사한다.
• 단일 알파벳 NFA의 Chrobak 정규형을 변형하여, 이 형태에 있는 오토마타 간 비교를 LOGSPACE에서 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 알파벳 NFA의 언어 포함 결정 문제에 대해 오랫동안 유지되어 온 2^O((n log n)^1/2) 상한을 초월하여 시간 복잡도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 단일 알파벳 UFA의 부울 연산(합집합, 교집합, 보완)에 대해 가능한 가장 날카운 상태 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 두 개의 n-상태 단일 알파벳 UFA를 연결할 경우, 상태 복잡도에 대해 초다항식 하한이 존재하는가? 만약 존재한다면, 그 정확한 점근적 형태는 무엇인가?
• RQ4 지수시간 가설 하에서, 고정된 ω-정규 언어에 대해 단일 알파벳 NFA 또는 UFA가 ω-어휘를 생성하는지 여부를 결정하는 문제의 난이도는 어떠한가?
• RQ5 특히 Chrobak 정규형에 있는 경우, 두 개의 단일 알파벳 UFA 간 비교를 효율적으로 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 단일 알파벳 NFA의 포함 및 동일성 문제는 2^O((n log n)^1/3) 시간 내에 결정 가능하며, 이는 이전의 2^O((n log n)^1/2) 상한을 향상시킨 결과이다.
• 단일 알파벳 UFA의 부울 연산(합집합, 교집합, 보완)은 준다항식 상태 복잡도를 가지며, 특정 상수 c에 대해 2^O((log n)^c)로 유계된다.
• 두 개의 n-상태 단일 알파벳 UFA를 연결할 경우의 최악의 상태 복잡도는 2^Ω((n log² n)^1/3)이며, 거의 날카운 하한을 확립한다.
• 지수시간 가설 하에서, 고정된 ω-정규 언어에 대해 단일 알파벳 UFA가 ω-어휘를 생성하는지 여부를 결정하는 문제는 2^Ω′((n log n)^1/3)의 시간이 필요하며, 상한과 하위로그라리즘 요소를 제외하고 일치한다.
• Chrobak 정규형에 있는 두 개의 단일 알파벳 UFA를 비교하는 것은 LOGSPACE에서 수행 가능하여, 이 제한된 클래스에 대해 상당한 효율성 향상을 보여준다.
• 일반적인 단일 알파벳 UFA에 대해서는 합집합, 교집합, 보완, Kleene 스타 연산이 모두 POLYLOGSPACE에서 수행 가능하다.