[논문 리뷰] Laplace transformation method for the Black-Scholes equation

Hyoseop Lee, Dongwoo Sheen|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 시간 및 공간에 따라 변화하는 계수를 가진 Black-Scholes 방정식을 해결하기 위한 고차수이며 병렬 처리 가능한 라플라스 변환 방법을 제안한다. 이는 효율적인 옵션 가격 설정을 가능하게 한다. 파라볼릭 PDE를 라플라스 역변환을 통해 상호 독립적인 타원 문제의 열로 변환함으로써, 스펙트럼 수렴과 병렬 계산에서 거의 이상적인 스피드업을 달성하며, 전통적인 시간-마이닝 스킴보다 크게 뛰어나면서도 투명한 경계 조건을 유지함으로써 높은 정확도를 확보한다.

ABSTRACT

In this paper we apply the innovative Laplace transformation method introduced by Sheen, Sloan, and Thomée (IMA J. Numer. Anal., 2003) to solve the Black-Scholes equation. The algorithm is of arbitrary high convergence rate and naturally parallelizable. It is shown that the method is very efficient for calculating various options. Existence and uniqueness properties of the Laplace transformed Black-Scholes equation are analyzed. Also a transparent boundary condition associated with the Laplace transformation method is proposed. Several numerical results for various options under various situations confirm the efficiency, convergence and parallelization property of the proposed scheme.

연구 동기 및 목표

• 정확한 해석적 해가 존재하지 않는 시간 및 공간에 따라 변화하는 계수를 가진 Black-Scholes 방정식을 해결하기 위한 빠르고 고차수의 수치적 방법을 개발하는 것.
• 매 단계에서 많은 시간 스텝과 비싼 타원 문제 해법이 필요한 전통적인 시간-마이닝 스킴의 계산 병목 현상을 극복하는 것.
• 라플라스 변환을 활용해 타원 문제 해법의 수를 최소화하여 계산 비용을 크게 감소시키는 것.
• 무한한 공간 영역의 정확한 자unction을 위해 최소한의 오차로 허용 가능한 경계 조건을 도입하는 것.
• 다양한 옵션 유형, 특히 바스켓 옵션을 포함한 경우에도 높은 수렴 속도, 병렬 처리 효율성 및 강인성을 입증하는 것.

제안 방법

• 시간 변수에 대해 라플라스 변환을 적용하여 시간에 의존하는 Black-Scholes PDE를 라플라스 변수 $ z $에 의해 매개화된 상호 독립적인 타원 방정식의 집합으로 변환한다.
• 각 변환된 방정식은 유한 차분법 또는 유한 요소 방법을 사용하여 잘라낸 공간 영역에서 독립적으로 해결되며, 이는 $ z $-점들 사이의 완전한 병렬 처리를 가능하게 한다.
• 복소 평면상의 철저히 선택된 경로를 따라 구적법을 사용하여 수치적 역라플라스 변환을 수행함으로써 시간 도메인의 해를 복원한다.
• 역라플라스 변환의 수렴성과 안정성을 보장하기 위해 복소 경로의 매개변수 $ \gamma, \nu, s, \tau $ 를 사용한다.
• 해의 渐近적 행동을 바탕으로 한 새로운 투명한 경계 조건을 변환된 방정식에 유도하여 인공 경계에서의 가짜 반사 현상을 최소화한다.
• 공간 영역은 $ L $ 에서 잘라내며, 경계 조건은 외부 파동 행동을 따라 설계되어 도메인 크기를 늘리지 않으면서도 정확도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 계수를 가진 Black-Scholes 방정식에 대해 라플라스 변환 방법이 고차수 수렴을 달성할 수 있는가? 기존의 시간-마이닝 스킴보다 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ2 제안된 투명한 경계 조건은 표준 딜레르흐 조건에 비해 도메인 크기를 줄였을 때 해의 정확도를 얼마나 효과적으로 향상시키는가?
• RQ3 이 방법은 어느 정도 병렬 처리가 가능하며, 실제로 거의 이상적인 스피드업을 달성하는가?
• RQ4 상관관계가 있는 기초 자산을 가진 다중 자산 바스켓 옵션에 적용했을 때의 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ5 크랭크-니콜슨 스킴으로 확보한 기준 솔루션과 비교했을 때 오차 및 계산 비용 측면에서 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 유럽식 옵션의 경우, 공간에서의 두 번째 수준의 수렴을 달성하였으며, 관측된 감소율은 약 2.000로 이론적 기대를 확인한다.
• 바스켓 옵션의 경우, 약 1.81의 수렴 속도를 보이며, 고차원에서도 여전히 두 번째 수준의 정확도를 유지함을 시사한다.
• 공간 도메인 크기를 1/4로 줄였을 때, 투명한 경계 조건을 사용하면 딜레르흐 조건 대비 상대적 $ L^2 $ 오차가 거의 반으로 줄어든다.
• $ 128 \times 128 $ 격자에서 15개의 CPU를 사용하여 13.2의 스피드업을 달성하였으며, 거의 이상적인 병렬 처리 효율성을 보였다.
• 15개의 $ z $-점에서의 수치적 라플라스 역변환은 최소한의 오차로 정확한 옵션 가격을 생성하였으며, 이는 방법의 강인성과 안정성을 확인한다.
• 제안된 투명한 경계 조건은 딜레르흐 조건보다 정확도를 크게 향상시키며, 특히 계산 도메인이 축소되었을 때 유의미한 개선을 보여, 고차원 문제에 이상적이다.