[논문 리뷰] Laplace Transforms for Integrals of Markov Processes

Claudio Albanese, Stephan Lawi|ArXiv.org|2007. 10. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 적분된 과정의 라플라스 변환이 초함수 함수를 사용하여 해석적으로 닫힌 형태로 표현될 수 있는 마르코프 과정—확산 및 유한 상태 모두—에 대한 통합 분류 체계를 개발한다. 오르누슈-울렌벡, CIR, 기하 브라운 운동과 같은 고전 모델을 자기수반 연산자의 스펙트럼 측도와 연결함으로써 확장하고, 이산(Racah) 및 연속(이중 자카비) 과정 간의 극한 관계를 도출한다.

ABSTRACT

Laplace transforms for integrals of stochastic processes have been known in analytically closed form for just a handful of Markov processes: namely, the Ornstein-Uhlenbeck, the Cox-Ingerssol-Ross (CIR) process and the exponential of Brownian motion. In virtue of their analytical tractability, these processes are extensively used in modelling applications. In this paper, we construct broad extensions of these process classes. We show how the known models fit into a classification scheme for diffusion processes for which Laplace transforms for integrals of the diffusion processes and transitional probability densities can be evaluated as integrals of hypergeometric functions against the spectral measure for certain self-adjoint operators. We also extend this scheme to a class of finite-state Markov processes related to hypergeometric polynomials in the discrete series of the Askey classification tree.

연구 동기 및 목표

• 적분된 과정의 라플라스 변환이 해석적으로 접근 가능한 마르코프 과정의 알려진 클래스를 통합하고 확장하는 것.
• 오르누슈-울렌벡, CIR, 기하 브라운 운동과 같은 고전 모델을 포함하는 일반적인 프레임워크를 초함수 함수와 자기수반 연산자의 스펙트럼 측도를 기반으로 식별하는 것.
• 이 프레임워크를 아스키 분류 수목의 초함수 다항식과 관련된 유한 상태 마르코프 과정으로 확장하는 것.
• 이산(Racah) 과정과 연속(이중 자카비) 확산 과정 간의 엄밀한 극한 관계를 설정하는 것.
• 라플라스 변환과 전이 밀도를 스펙트럼 측도에 대해 초함수 함수의 적분으로 체계적으로 계산하는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 시간 동질성 확산 또는 유한 상태 과정을 포함하는 기댓값으로서 마르코프 과정의 적분에 대한 라플라스 변환을 수립한다.
• 스펙트럼 이론을 적용하여 라플라스 변환을 자기수반 연산자의 스펙트럼 측도에 대해 초함수 함수의 적분으로 표현한다.
• 아스키 분류 수목을 사용하여 이산 수직 다항식(예: 라카 다항식)을 식별하고, 이들이 유한 상태 마르코프 과정과 대응됨을 밝힌다.
• 라카 과정의 유한 차분 생성자를 유도하고, $N \to \infty$ 일 때 $x \mapsto Nx$ 스케일링 하에서 이중 자카비 확산 생성자로 수렴함을 보인다.
• 라카 다항식이 이중 자카비 다항식으로 수렴하고, 곱항이 극한에서 지수 함수로 수렴함을 확립한다.
• 변환 규칙과 점근 분석을 적용하여 이산 과정의 라플라스 변환이 연속된 이중 자카비 과정의 라플라스 변환으로 수렴함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분된 과정의 라플라스 변환이 닫힌 형태로 표현 가능한 광범위한 마르코프 과정의 클래스를 분류할 수 있는가?
• RQ2 CIR, 오르누슈-울렌벡, 기하 브라운 운동과 같은 고전 모델이 통합된 스펙트럼 이론적 프레임워크에 어떻게 포함되는가?
• RQ3 이 프레임워크를 아스키 체계의 초함수 다항식과 관련된 유한 상태 마르코프 과정으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 라플라스 변환의 맥락에서 이산(Racah) 과정과 연속(이중 자카비) 확산 과정 간의 극한 관계는 무엇인가?
• RQ5 이산 과정의 라플라스 변환이 그 연속적 대응체로 수렴하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이중 자카비 확산 과정의 적분에 대한 라플라스 변환은 자기수반 연산자의 스펙트럼 측도에 대해 초함수 함수의 적분으로 표현될 수 있다.
• 이차 오르누슈-울렌벡 과정과 자카비 과정은 제안된 분류 체계 내에서 고전적인 애프린 및 이차 모델의 확장으로 식별된다.
• 변환 $x \mapsto Nx$ 하에서 $N \to \infty$ 극한에서 라카 과정의 라플라스 변환은 이중 자카비 과정의 라플라스 변환으로 수렴함을 보였다.
• 라카 다항식은 $N \to \infty$ 일 때 스케일링 인자 $\frac{n!}{(\alpha+1)_n}$까지의 차이를 제외하고 이중 자카비 다항식으로 수렴하며, $Z(x) = x(2-x)$이다.
• 곱항 $\prod_{k=1}^{Nx} \frac{D(k)}{\bar{D}(k)}$ 는 $N \to \infty$ 극한에서 $(1-x)^{\bar{\beta}-\beta}$로 수렴한다.
• 라카 과정의 유한 차분 생성자는 동일한 스케일링 극한 하에서 이중 자카비 확산의 무한소 생성자로 수렴한다.