[논문 리뷰] Large classes of minimally supported frequency wavelets of L^2(\R) and H^2(\R)

Nicola Arcozzi, Biswaranjan Behera외 1명|ArXiv.org|2002. 07. 17.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $L^2(\mathbb{R})$ 및 $H^2(\mathbb{R})$에 대해 최소 지지 주파수(MSF) 웨이브릿의 큰 가족을 생성하기 위한 기하학적 구성 방법을 제안한다. 이는 이진 다각형에서 유도된 대칭 웨이브릿 집합을 사용한다. 논문은 비가산 수의 대칭 웨이브릿 집합이 존재함을 증명하며, 이는 비이진 끝점을 가진 웨이브릿과 원점 근처에서 푸리에 변환이 0이 되지 않는 웨이브릿을 포함한다. 이는 허니에이드와 가리고스가 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We introduce a method to construct large classes of MSF wavelets of the Hardy space H^2(\R) and symmetric MSF wavelets of L^2(\R), and discuss the classification of such sets. As application, we show that there are uncountably many wavelet sets of L^2(\R) and H^2(\R). We also enumerate all symmetric wavelets of L^2(\R) with at most three intervals in the positive axis as well as 3-interval wavelet sets of H^2(\R). Finally, we construct families of MSF wavelets of L^2(\R) whose Fourier transform does not vanish in any neighbourhood of the origin.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n \geq 1$에 대해 $L^2(\mathbb{R})$ 및 $H^2(\mathbb{R})$에서 MSF 웨이브릿의 큰 클래스를 체계적으로 구성하기 위한 방법을 개발한다.
• 모든 $n \geq 1$에 대해 양의 실수선 상의 유한 개의 간격을 가진 대칭 웨이브릿 집합을 분류한다.
• 원점 근처에서 푸리에 변환이 0이 되지 않는 웨이브릿의 존재성과 비이진 끝점을 가진 웨이브릿의 존재성에 관한 열린 문제를 해결한다.
• $L^2(\mathbb{R})$ 및 $H^2(\mathbb{R})$에서 대칭 웨이브릿 집합과 간격 웨이브릿 집합이 비가산 수로 존재함을 보여준다.

제안 방법

• 이진 격자 위에 위치한 정점들을 가진 다각형과 관련된 대칭 웨이브릿 집합을 구성함으로써, 모든 $n \geq 1$에 대해 매개변수화된 가족을 가능하게 한다.
• 웨이브릿 집합의 타당성을 보장하기 위해 정리 1의 기하 조건 (T) 및 (D)를 사용한다: $\coprod_{n\in\mathbb{Z}}(K+n) = \mathbb{R}$ 거의 어디서나 및 $\coprod_{n\in\mathbb{Z}}2^nK = \mathbb{R}$ 거의 어디서나.
• 실수 매개변수 $\epsilon$를 포함한 $E_l$, $F_l$, $G_l$, $H_l$ 및 고정된 간격 $R_2$, $S_1$, $S_2$, $S_3$, $L_2$, $T_1$, $T_2$, $T_3$를 사용한 재귀적 간격 구성 방식으로 웨이브릿 집합 $K_{n,\epsilon}$을 정의한다.
• 웨이브릿 집합 조건을 만족함을 보장하기 위해 $K_{n,\epsilon}$과 기본 웨이브릿 집합 $K_n$ 사이의 확대 및 이동 등가성을 증명한다.
• 대칭성과 간격의 재귀적 포함을 통해 $K_{n,\epsilon}$이 유계이면서 0이 축적점임을 보장한다.
• 매개변수 $\epsilon \in (0, e_n/4)$를 활용하여 비가산 수의 서로 다른 대칭 웨이브릿 집합을 생성하며, 이는 비이진 끝점을 가진 집합을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $L^2(\mathbb{R})$에서 $K^+$에 대해 $n=3$ 개의 간격이 있을 때 비가산 수의 대칭 웨이브릿 집합이 존재하는가?
• RQ2 원점 근처의 어떤 이웃에서도 푸리에 변환이 0이 되지 않는 MSF 웨이브릿을 구성할 수 있는가?
• RQ3 비이진 끝점(즉, $p/2^q$ 형태가 아닌)을 가진 대칭 웨이브릿 집합이 존재하는가?
• RQ4 $n \geq 3$에 대해 대칭 웨이브릿 집합의 완전한 분류가 가능한가?
• RQ5 이 구성 방법이 $H^2(\mathbb{R})$의 웨이브릿을 특정 간격 구조로 생성할 수 있는가?

주요 결과

• $n=3$일 때, $a \in (1/3, 1/2)$에 대해 $K_a^+ = [a, 1/2] \cup [1-a, 2a] \cup [1, 2(1-a)]$로 정의되는 대칭 웨이브릿 집합의 가족은 비가산 수의 그러한 집합을 제공한다.
• $n \geq 2$ 및 $0 < \epsilon < e_n/4$에 대해 구성된 웨이브릿 집합 $K_{n,\epsilon}$은 유계이면서 0이 축적점임을 보여준다.
• $K_{n,\epsilon}$에 관련된 웨이브릿 $\psi_{n,\epsilon}$의 푸리에 변환은 짝수이며, 원점 근처의 어떤 이웃에서도 0이 되지 않는다.
• 논문은 실수 매개변수 $a$에 대해 끝점이 연속적으로 변화하는 대칭 웨이브릿 집합의 가족을 구성하며, $n>2$에 대해 비가산성을 증명한다.
• $n=1$일 때, 유일한 대칭 웨이브릿 집합은 쇤의 집합 $K^+ = [1/2, 1]$이다.
• 논문은 양의 축에 최대 세 개의 간격을 가진 $L^2(\mathbb{R})$의 모든 대칭 웨이브릿을 나열하며, $H^2(\mathbb{R})$의 3개 간격 웨이브릿 집합도 나열한다.