[논문 리뷰] Large cycles and a functional central limit theorem for generalized weighted random permutations

Ashkan Nikeghbali, Julia Storm외 1명|Lancaster EPrints (Lancaster University)|2013. 02. 24.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 순환 길이가 $ n $ 에 따라 달라지는 집합 $ A_n $ 으로 제한된 일반화된 가중 무작위 순열에서 순환 수의 기능적 중심극한정리(central limit theorem)를 수립한다. 복소해석학과 생성함수의 특이점 분석을 통해, $ \leq n^x $ 길이의 순환 수의 스케일링된 값이 표준 브라운 운동으로 수렴함을 증명한다. 이는 델로렌티스, 피틀, 한센의 고전적 결과를 더 넓은 범위의 측도와 더 유연한 순환 제한 조건을 가진 경우로 확장한다.

ABSTRACT

The objects of our interest are the so-called $A$-permutations, which are permutations whose cycle length lie in a fixed set $A$. They have been extensively studied with respect to the uniform or the Ewens measure. In this paper, we extend some classical results to a more general weighted probability measure which is a natural extension of the Ewens measure and which in particular allows to consider sets $A_n$ depending on the degree $n$ of the permutation. By means of complex analysis arguments and under reasonable conditions on generating functions we study the asymptotic behaviour of classical statistics. More precisely, we generalize results concerning large cycles of random permutations by Vershik, Shmidt and Kingman, namely the weak convergence of the size ordered cycle length to a Poisson-Dirichlet distribution. Furthermore, we apply our tools to the cycle counts and obtain a Brownian motion central limit theorem which extends results by DeLaurentis, Pittel and Hansen.

연구 동기 및 목표

• 순환 길이가 $ n $ 에 따라 달라지는 집합 $ A_n $ 으로 제한된 일반화된 가중 측도에 대해 고전적 극한정리의 일반화를 목표로 한다.
• 이전에 균일 및 에벤스 측도에서만 알려진 순환 수의 기능적 중심극한정리를, 임의의 비음수 가중치 $ \theta_m $ 를 가진 일반적인 $ A_n $-가중 측도로 확장한다.
• 생성함수 $ g_\Theta(t) $ 에 대한 일반적인 조건 하에서 크기 순서로 정렬된 순환 길이의 약한 수렴을 포isson-디리클레 분포로 확립한다.
• 짝수 및 홀수 순환 길이로 제한된 순환 수의 점근적 행동을 분석하여, 독립적인 브라운 운동으로의 공동 수렴을 증명한다.
• 다중 특이점을 가진 생성함수를 다룰 수 있는 민첩한 복소해석적 프레임워크를 개발하여, 다양한 제한 조건 하에서 순열 통계의 점근적 분석을 가능하게 한다.

제안 방법

• 가중치 $ \theta_m $ 를 사용하여 $ \mathfrak{S}_n $ 위에 일반화된 $ A_n $-가중 측도를 정의하고, 생성함수 $ g_\Theta(t) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\theta_m}{m} t^m $ 를 통해 정규화를 수행한다.
• 특이점 분석을 적용하여, 주로 $ r > 0 $ 에서의 주요 특이점 근처에서 순환 수와 관련된 계수의 점근적 성질을 추출한다.
• 기울어진 경로 방법과 경로 변형을 사용하여, 특히 $ g_\Theta(t) $ 가 $ r $ 에서 특이점을 가지며 $ \sim \vartheta \log(1 - t/r)^{-1} $ 과 같이 증가하는 경우의 지수 생성함수 $ \exp(g_\Theta(t)) $ 를 분석한다.
• 길이 $ \leq n^x $ 의 순환 수를 위한 스케일링된 과정 $ \widetilde{B}_n^{(\text{ev})}(x) $ 와 $ \widetilde{B}_n^{(\text{odd})}(x) $ 를 정의하며, $ \sqrt{\frac{\vartheta}{2} \log n} $ 으로 정규화한다.
• 특성 함수 분석을 통해 유한차원 분포 수렴을 증명하고, 특성 함수가 독립적인 표준 브라운 운동의 것과 수렴함을 보인다.
• 특이점이 두 개 이상(예: $ r $ 과 $ -r $) 존재하는 경우, 표준 특이점 분석 프레임워크를 수정하여, 그림 3과 같이 새로운 경로 $ \gamma $ 를 사용해 대칭적 특이점을 가진 생성함수의 점근 전개를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치 수열 $ \theta_m $ 과 순환 제한 집합 $ A_n $ 에 어떤 조건이 성립할 경우, 크기 순서로 정렬된 순환 길이 분포가 포isson-디리클레 분포로 수렴하는가?
• RQ2 이전에는 균일 및 에벤스 측도에서만 알려진 순환 수의 기능적 중심극한정리는, 더 일반적인 $ A_n $-가중 측도로 확장될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 측도 하에서 짝수 및 홀수 순환 길이로 제한된 순환 수의 공동 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 생성함수에 다중 특이점(예: $ r $ 과 $ -r $) 이 존재할 경우, 순환 수의 점근적 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비트리비얼 제한 조건 $ D_n = \{1,\dots,n\} \setminus A_n $ 를 가진 생성함수를 다룰 수 있는 복소해석적 방법인 특이점 분석은 어느 정도까지 일반화될 수 있는가? 특히 $ d_n = \max D_n = o(n) $ 인 경우에 대해.

주요 결과

• 생성함수 $ g_\Theta(t) $ 에 대한 온건한 조건 하에서, $ A_n $-가중 무작위 순열의 크기 순서로 정렬된 순환 길이가 포isson-디리클레 분포로 확률적으로 수렴함을 보였다. 이는 버쉬크, 쇼미트, 킹먼의 결과를 일반화한다.
• 길이 $ \leq n^x $ 의 순환 수의 스케일링된 값 $ \widetilde{B}_n^{(\text{ev})}(x) $ 는 $ [0,1] $ 에서 표준 브라운 운동으로 약한 수렴함을 보였으며, 이는 델로렌티스 및 피틀의 결과를 가중 측도로 확장한 것이다.
• 짝수 및 홀수 순환 길이를 세는 과정인 $ \widetilde{B}_n^{(\text{ev})}(x) $ 와 $ \widetilde{B}_n^{(\text{odd})}(x) $ 는 함께 두 개의 독립적인 표준 브라운 운동으로 수렴한다.
• 특히 $ x=1 $ 인 경우, 극한 과정의 특성 함수는 $ \mathbb{E}[\exp(is_1 B^{(\text{ev}}(1) + is_2 B^{(\text{odd}}(1))] \to \exp(-\frac{1}{2}(s_1^2 + s_2^2)) $ 를 만족하여, 독립성과 정규성을 확인한다.
• 특이점 분석를 수정하여 생성함수 계수 $ [t^n] \exp(g_\Theta(t) + \cdots) $ 의 점근 전개를 도출하였으며, $ n^{(e^{is_1}+e^{is_2})/2 - 1} \cdot F(s_1,s_2) $ 의 형태를 취하며 $ F(0,0) = 1 $ 이다. 이는 브라운 운동으로의 수렴을 확인한다.
• 이 방법은 제한 조건에 대해 강건하다. 예를 들어, $ A_n $ 이 특정 순환 길이(예: 모든 짝수 또는 홀수 순환)를 배제하더라도, $ g_\Theta(t) $ 와 $ d_n = o(n) $ 에 대한 동일한 가정 하에 기능적 중심극한정리가 여전히 성립함을 보였다.