[논문 리뷰] Large deviation expansions for the coefficients of random walks on the general linear group

Hui Xiao, Ion Grama외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 01.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 53인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $GL(d,\mathbb{R})$ 위에서 i.i.d. 행렬 시퀀스를 갖는 랜덤 매트릭스 곱의 계수 $\pi(f, G_n v)$에 대해 Bahadur-Rao-Petrov 유형의 대칭 확률 확장이 수립된다. 스펙트럼 갭과 변화된 측도 하에서 정(stationary) 측도의 허더 연속성 분석을 통해 명시적인 대칭 확률 점근적 해석을 도출하며, 이는 이전의 경계를 향상시키고 계수에 대한 새로운 국소 중심극한정리와 함께 대칭 확률을 제공한다.

ABSTRACT

Let $(g_n)_{n\geq 1}$ be a sequence of independent and identically distributed elements of the general linear group $GL(d, \mathbb R)$. Consider the random walk $G_n: = g_n \ldots g_1$. Under suitable conditions, we establish Bahadur-Rao-Petrov type large deviation expansion for the coefficients $\langle f, G_n v angle$, where $f \in (\mathbb R^d)^*$ and $v \in \mathbb R^d$. In particular, our result implies the large deviation principle with an explicit rate function, thus improving significantly the large deviation bounds established earlier. Moreover, we establish Bahadur-Rao-Petrov type large deviation expansion for the coefficients $\langle f, G_n v angle$ under the changed measure. Toward this end we prove the Hölder regularity of the stationary measure corresponding to the Markov chain $G_n v /|G_n v|$ under the changed measure, which is of independent interest. In addition, we also prove local limit theorems with large deviations for the coefficients of $G_n$.

연구 동기 및 목표

• i.i.d. 랜덤 매트릭스 곱 $GL(d,\mathbb{R})$ 위에서 계수 $\langle f, G_n v\rangle$에 대한 정밀한 대칭 확률 점근적 해석을 유도하기 위해.
• 기존의 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq) \leq e^{-cn}$ 형태의 대칭 확률 경계를 개선하여 명시적인 속도 함수를 제공하기 위해.
• 변화된 측도 $\mathbb{Q}_s^x$ 하에서 $\langle f, G_n v\rangle$에 대해 Bahadur-Rao-Petrov 유형의 확장 수립을 위해.
• 변화된 측도 하에서 마코프 체인 $G_n v / |G_n v|$와 관련된 정 측도의 허더 연속성을 증명하기 위해. 이는 별도의 관심사가 있는 결과이다.
• 정교한 점근적 확장들을 사용하여 $\langle f, G_n v\rangle$에 대한 새로운 국소 중심극한정리와 함께 대칭 확률을 도출하기 위해.

제안 방법

• 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^{d-1}$ 위에서의 랜덤 워크의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 전이 연산자 $P_s$와 그 쌍대 연산자 $P_s^*$를 사용한다.
• 누산생성함수 $\Lambda(s) = \log \kappa(s)$에 대해 펜첼-레지오르 변환 $\Lambda^*$를 적용하며, 여기서 $\kappa(s) = \lim_{n\to\infty} (\mathbb{E}\|G_n\|^s)^{1/n}$이다.
• 전이 연산자의 고유함수 $r_s(x)$를 사용하여 측도를 변화시키는 $\mathbb{Q}_s^x$를 도입하여 $\log|\langle f, G_n v\rangle|$의 尾행동을 연구한다.
• 스펙트럼 갭 추정과 쌍대 전이 연산자 $P_s^*$의 사용을 통해 변화된 측도 $\mathbb{Q}_s^x$ 하에서 정 측도의 허더 연속성을 확립한다.
• $\mathbb{Q}_s^x$ 하에서 노름 코큐클 $\log|G_n v|$에 대해 중심극한정리와 강한 법칙을 적용하여 변동성을 제어한다.
• 기대값을 두 부분으로 분해한다: $J_1$은 큰 음수인 $Y_n^{x,y} = \log \delta(y, G_n x)$에 대해, $J_2$는 간격 $I_k$에 대해, 절단과 농도 경계를 사용하여 $J_1 \to 0$ 이며 $J_2 \to \int e^{-(t-s)u} \psi(u) du$ 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(d,\mathbb{R}) 위에서 랜덤 매트릭스 곱의 계수 $\langle f, G_n v\rangle$에 대해 명시적인 Bahadur-Rao-Petrov 유형의 대칭 확률 확장이 도출될 수 있는가?
• RQ2 대칭 확률 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq)$의 정밀한 감쇠 속도는 무엇이며, 기존의 경계 $e^{-cn}$을 어떻게 개선하는가?
• RQ3 변화된 측도 $\mathbb{Q}_s^x$ 하에서 정 측도의 허더 연속성은 대칭 확률 확장 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 정교한 점근적 확장들을 사용하여 $\langle f, G_n v\rangle$에 대해 국소 중심극한정리와 함께 대칭 확률을 수립할 수 있는가?
• RQ5 $(G_n x, \log|\langle f, G_n v\rangle|)$의 공동 대칭 확률 행동은 무엇이며, 이는 계수의 꼬리 분포에 대해 어떤 새로운 결과를 이끌어내는가?

주요 결과

• 논문은 $\langle f, G_n v\rangle$에 대해 Bahadur-Rao-Petrov 유형의 대칭 확률 확장을 수립하며, 이는 명시적인 속도 함수 $\Lambda^*$를 갖는 대칭 확률 원리의 성립을 암시하며, 이는 이전의 경계 $\mathbb{P}(\log|\langle f, G_n v\rangle| > nq) \leq e^{-cn}$를 크게 향상시킨다.
• 변화된 측도 $\mathbb{Q}_s^x$ 하에서 $\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log|\langle f, G_n v\rangle| \geq \Lambda'(s)$ 거의 확실하게 성립하며, 적분 $\int_{\mathbb{R}} e^{-(t-s)u} \psi(u) du$를 포함한 극한을 통해 尾확률의 정밀한 점근적 해석을 도출한다.
• 변화된 측도 $\mathbb{Q}_s^x$ 하에서 정 측도의 허더 연속성이 확립되었으며, 이는 핵심 기술적 요소이자 랜덤 매트릭스 곱 연구에서 별도의 관심사가 되는 결과이다.
• 논문은 $\langle f, G_n v\rangle$에 대해 새로운 국소 중심극한정리와 함께 대칭 확률을 도출하며, 이는 $\log|\langle f, G_n v\rangle|$의 밀도가 스펙트럼 갭과 고유함수 구조에 의해 스케일링된 가우시안 유형의 밀도로 수렴함을 보여준다.
• 상단 꼬리의 경우, 점근적 확장이 $\int_{\mathbb{P}^{d-1}} \varphi(x) \delta(y,x)^t \frac{r_s(x)}{r_t(x)} \pi_t(dx) \int_{\mathbb{R}} e^{-(t-s)u} \psi(u) du + o(1)$로 수렴함을 보이며, 이는 대칭 확률 밀도의 정밀한 특성화를 제공한다.
• 하단 꼬리의 대칭 확률도 분석되었으며, 증명은 유사한 기법을 사용하지만, 관련 함수 공간의 비콤팩트성으로 인해 더 세밀한 제어가 필요하다.