[논문 리뷰] Large deviation for two-time-scale stochastic Burgers equation

Xiaobin Sun, Ran Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 느린 성분이 확률적 버거스 방정식으로 주어지고 빠른 성분이 확률적 반응-확산 방정식으로 제어되는 두 시간 스케일(stochastic Burgers equation)에 대해 프리드린-웬틀러 유형의 대규모 탈리드 원리(LDP)를 수립한다. 버드히라자와 두푸아(2010)의 약한 수렴 기준을 사용하여, 소음이 작고 빠른-느린 시간 스케일 분리 조건이 성립할 때 제어된 시스템의 점근적 행동을 분석함으로써 LDP를 증명한다.

ABSTRACT

A Freidlin-Wentzell type large deviation principle is established for stochastic partial differential equations with slow and fast time-scales, where the slow component is a one-dimensional stochastic Burgers equation with small noise and the fast component is a stochastic reaction-diffusion equation. Our approach is via the weak convergence criterion developed in [3].

연구 동기 및 목표

• 느린 성분이 확률적 버거스 방정식이고 빠른 성분이 확률적 반응-확산 방정식인 확률적 편미분방정식(SPDE)의 쌍방향 빠른-느린 시스템에 대해 프리드린-웬틀러 유형의 대규모 탈리드 원리(LDP)를 수립하는 것.
• 소음이 작고 빠른 스케일 역학이 존재하는 조건 하에서, 두 시간 스케일 확률적 시스템의 프레임워크 내에서 느린 성분의 희귀 사건 행동을 분석하는 것.
• 기존의 다중스케일 확산 과정에 대한 LDP 결과를 비선형성과 비기울기(non-gradient) 성격을 가진 무한차원 SPDE로 확장하는 것.
• 버드히라자와 두푸아(2010)의 약한 수렴 기준을 적용하여 LDP 분석을 단순화하고, 더 복잡한 점성도 또는 약한 수렴 방법을 피하는 것.

제안 방법

• 버드히라자와 두푸아(2010)의 약한 수렴 기준을 사용하여 두 시간 스케일 SPDE 시스템의 느린 성분에 대한 LDP를 증명한다.
• 원래 시스템의 제어된 형태를 도입하여, 소음이 제어 과정 $ u^ ho $로 대체되도록 하여 약한 수렴 접근법을 적용할 수 있도록 한다.
• 시간 스케일 분리 조건 $ ρ = ρ(ρ) $ 하에서 $ ρ \to 0 $ 일 때 제어된 과정 $ (X^{\rho,\rho,u^\rho}, Y^{\rho,\rho,u^\rho}) $ 의 수렴성을 분석한다.
• 적절한 컴팩트성 및 연속성 조건 하에서 제어된 과정의 분포 수렴을 평균화된 방정식으로 이끌어내는 데 사용한다.
• 반정규성과 유사한 성질을 가진 반정규성 추정치를 사용하여 반정규성 $ e^{tA} $ 와 비선형 이항연산자 $ b(x,y,z) $ 의 유계성과 연속성을 제어한다.
• 약한 수렴 기준 하에서 제어 맵의 상(image)의 컴팩트성과 타이트니스(tightness)를 확립하여, 비용 함수의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 느린 성분이 확률적 버거스 방정식이고 빠른 성분이 확률적 반응-확산 방정식인 두 시간 스케일 시스템에 대해 프리드린-웬틀러 유형의 대규모 탈리드 원리(LDP)가 성립하는가?
• RQ2 버드히라자와 두푸오(2010)의 약한 수렴 기준이 이러한 다중스케일 SPDE 시스템에 대해 LDP를 증명하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ3 이러한 두 시간 스케일 SPDE 맥락에서 대규모 탈리드 원리의 비용 함수의 구조는 어떠한가?
• RQ4 버거스 방정식의 비선형 항과 느린-빠른 성분 간의 결합이 대규모 탈리드 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 LDP의 타당성을 보장하기 위해 필요로 하는 계수 $ f, g, \rho_1, \rho_2 $ 의 정규성 및 성장 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 두 시간 스케일 SPDE 시스템의 느린 성분 $ X^{\rho,\rho} $ 에 대해 프리드린-웬틀러 유형의 대규모 탈리드 원리(LDP)가 수립되었으며, 이는 약한 수렴 기준을 통해 정의된 비용 함수를 포함한다.
• 비용 함수 $ I(g) $ 는 $ \frac{1}{2} \int_0^T \|u(s)\|^2 ds $ 로 주어지며, 여기서 $ u $ 는 $ g = \Gamma^0(\int_0^\cdot u(s) ds) $ 를 만족하는 제어 과정이며, $ \Gamma^0 $ 은 제어된 시스템의 극한이다.
• 계수와 소음 연산자에 대한 적절한 조건 하에서, 제어된 과정 $ (X^{\rho,\rho,u^\rho}, Y^{\rho,\rho,u^\rho}) $ 가 분포 수렴하여 결정론적 극한으로 수렴함을 증명하였다.
• 반정규성 $ e^{tA} $ 에 대한 소볼레프 노름에서의 균일 추정치, 특히 $ \|e^{tA}x\|_\gamma \leq C t^{-(\gamma-\theta)/2} \|x\|_\theta $ 형태의 추정치를 사용하여 해의 정규성 조건을 제어한다.
• 버거스 비선형성과 관련된 이항연산자 $ b(x,y,z) $ 는 적절한 인덱스 조건 하에서 $ |b(x,y,z)| \leq C \|x\|_{\alpha_1} \|y\|_{\alpha_2+1} \nolinebreak \|z\|_{\alpha_3} $ 를 만족하여 유계성과 연속성을 보장한다.
• 제어 맵의 상태 공간 내 상(image)의 컴팩트성이 확립되었으며, 이는 약한 수렴 방법 적용 및 LDP 성립에 필수적이다.