[논문 리뷰] Large Deviation of the Density Profile in the Symmetric Simple Exclusion Process

Bernard Derrida, Joel L. Lebowitz외 1명|arXiv (Cornell University)|2001. 09. 19.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 서로 다른 화학적 위치에서 입자 저장소에 의해 구동되는 1차원 개방계에서 대칭 단순 배제 과정(SSEP)의 큰 편차를 연구한다. 이는 정상 비평형 상태(SNS)를 초래하며, 밀도 분포 ρ(x)에 대한 비국소적인 큰 편차 기능 F{ρ}를 유도한다. 이는 평형 시스템에 존재하지 않는 장거리 공간 상관관계를 드러내며, 변동하는 유체역학 예측을 설명하고 비평형 자유 에너지 기능에 더 넓은 비국소성의 가능성을 시사한다.

ABSTRACT

Abstract We consider an open one dimensional lattice gas on sites i = 1,...,N, with particles jumping independently with rate 1 to neighboring interior empty sites, the simple symmetric exclusion process. The particle fluxes at the left and right boundaries, corresponding to exchanges with reservoirs at different chemical potentials, create a stationary nonequilibrium state (SNS) with a steady flux of particles through the system. The mean density profile in this state, which is linear, describes the typical behavior of a macroscopic system, i.e., this profile occurs with probability 1 when N → ∞. The probability of microscopic configurations corresponding to some other profile ρ(x), x = i/N, has the asymptotic form exp[−NF({ρ})]; F is the large deviation functional. In contrast to equilibrium systems, for which Feq({ρ}) is just the integral of the appropriately normalized local free energy density, the F we find here for the nonequilibrium system is a nonlocal function of ρ. This gives rise to the long range correlations in the SNS predicted by fluctuating hydrodynamics and suggests similar non-local behavior of F in general SNS, where the long range correlations have been observed experimentally. Key words: Large deviations, symmetric simple exclusion process, open system, stationary nonequilibrium state.

연구 동기 및 목표

• 드라이브된 확산 시스템에서의 비평형 정상 상태(SNS)의 통계역학을 이해하기 위해.
• 개방 경계 조건 하에서 SSEP에서 이질적인 밀도 분포 ρ(x)를 관측할 확률을 특성화하기 위해.
• SNS에서 밀도 분포에 대한 큰 편차 기능 F{ρ}를 유도하고, 이를 평형 자유 에너지 기능과 대비하기 위해.
• 비평형 시스템에서 장거리 공간 상관관계의 기원과 영향을 조사하기 위해.

제안 방법

• 시스템을 대칭 배제 동역학과 경계에서의 입자 교환을 가진 N개의 격자점으로 구성된 1차원 격자로 모델링한다.
• 큰 편차 원리를 사용하여 매크로스코픽 밀도 분포 ρ(x)의 확률을 exp[−NF{ρ}]로 표현한다.
• 유체역학적 스케일링과 확률과정의 생성자(Generator)를 사용하여 기능 F{ρ}를 유도한다.
• F{ρ}가 ρ에 대해 비국소적임을 보여주며, 이는 국소적 값뿐만 아니라 전체 프로파일의 형태에 의존함을 의미한다.
• 비평형 F{ρ}를 평형 자유 에너지 기능과 비교하여, 후자의 국소성 부재를 강조한다.
• F{ρ}의 비국소성이 SNS에서 장거리 상관관계를 암시함을 입증하며, 이는 변동하는 유체역학과 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SSEP에서 밀도 분포에 대한 큰 편차 기능 F{ρ}는 평형 자유 에너지 기능과 어떻게 다를까?
• RQ2 입자 통량이 존재하는 정상 비평형 상태에서 F{ρ}의 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ3 왜 SNS는 장거리 공간 상관관계를 나타내며, 이는 F{ρ}의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비평형 시스템에서 큰 편차 기능은 본질적으로 비국소적인가? 그 결과는 무엇인가?
• RQ5 F{ρ}의 비국소성은 드라이브된 시스템에서 실험적으로 관측된 장거리 상관관계를 설명할 수 있는가?

주요 결과

• SSEP에서 밀도 분포에 대한 큰 편차 기능 F{ρ}는 평형 시스템과 달리 밀도 프로파일의 전반적인 형태에 의존하는 비국소적 성질을 지닌다.
• F{ρ}의 비국소성은 정상 비평형 상태에서 장거리 공간 상관관계 존재를 직접적으로 암시한다.
• 기능 F{ρ}는 국소 자유 에너지 밀도의 적분으로 표현될 수 없으며, 이는 평형 통계역학과의 주요 차이점이다.
• 정상 상태 밀도 프로파일은 열역학적 극한에서 선형이며, 확률 1로 일반 매크로스코픽 행동을 나타낸다.
• 유도 과정은 변동하는 유체역학이 드라이브된 확산 시스템에서 장거리 상관관계를 예측하는 것이 SSEP의 큰 편차 구조와 일치함을 확인한다.
• 결과는 큰 편차 기능의 비국소성이 SSEP를 초월해 비평형 정상 상태의 일반적 특성일 수 있음을 시사한다.