[논문 리뷰] Large deviation principle of Freidlin-Wentzell type for pinned diffusion processes

Yuzuru Inahama|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 23.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 약한 타원성 조건 하에서, 군형 경로 이론과 임의의 확률적 분석을 이용하여 고정된 확산 과정에 대한 프리드린-웬틀러 유형의 대규모 편차 원리를 수립한다. 브라운 운동을 임의의 확률적 의미에서 군형 경로로 올리고, 용적 기반 분석을 활용함으로써, 저자들은 $\mu_{a,a'}^\varepsilon$의 법칙이 $a$에서 $a'$로 연결되는 경로 $h$에 대해 $\|h\|_{\cal H}^2/2$의 비용 함수를 가진 대규모 편차 원리를 만족함을 증명한다.

ABSTRACT

Since T. Lyons invented rough path theory, one of its most successful applications is a new proof of Freidlin-Wentzell's large deviation principle for diffusion processes. In this paper we extend this method to the case of pinned diffusion processes under a mild ellipticity assumption. Besides rough path theory, our main tool is quasi-sure analysis, which is a kind of potential theory in Malliavin calculus.

연구 동기 및 목표

• 프리드린-웬틀러의 대규모 편차 원리를 고정된 확산 과정으로 확장한다.
• 클래식한 위너 공간에서 이토 맵이 연속적이지 않다는 과제를 해결하기 위해 새로운 프레임워크가 필요하다.
• 양끝에서 고정된 확산 과정의 조건부 법칙에 대해 대규모 편차 원리를 수립한다.
• 군형 경로 이론과 임의의 확률적 분석을 활용하여 조건부 설정에서 발생하는 분석적 곤경을 극복한다.
• 비용 함수가 초기점과 종점 사이를 연결하는 제어 과정의 캐머론-마틴 노름과 일치함을 증명한다.

제안 방법

• 이론적 임의의 연속 과정을 이용하여 브라운 운동을 기하학적 군형 경로 $W$로 임의의 확률적 의미에서 올린다.
• 수기타 정리의 응용을 통해 양의 와타나베 분포를 위너 공간 위의 보렐 측도로 표현한다.
• 기하학적 군형 경로 공간 위의 베존 유형 노름을 사용하여 정규성과 하올더 및 변동 노름 간의 관계를 제어한다.
• 고정된 확산 측도 $\mu_{a,a'}^\varepsilon$를 유도하는 군형 경로 공간 위의 확률 측도를 구성한다.
• 린즈-이토 맵을 사용하여 군형 경로 의미에서 SDE의 해를 정의함으로써 연속성을 확보한다.
• 군형 경로 설정에서의 계약 원리를 적용하고, $\varepsilon W$에 대한 대규모 편차 원리를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군형 경로 이론을 활용하여 프리드린-웬틀러의 대규모 편차 원리를 고정된 확산 과정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 양끝에서 고정된 확산 과정의 조건부 법칙은 $\varepsilon \searrow 0$일 때 대규모 편차 원리를 만족하는가?
• RQ3 임의의 확률적 분석을 통해 위너 공간 프레임워크에서 조건부화로 인해 발생하는 특이성을 다룰 수 있는가?
• RQ4 고정된 확산 과정의 비용 함수는 초기점 $a$에서 종점 $a'$로 연결되는 제어 과정의 캐머론-마틴 노름으로 주어지는가?
• RQ5 군형 경로 공간 위의 베존 노름은 이 경우 마리아빈 미분학과 군형 경로 이론을 연결하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 약한 타원성 조건 하에서 기하학적 군형 경로 공간에서 측도의 가족 $\mu_{a,a'}^\varepsilon$는 대규모 편차 원리를 만족한다.
• 대규모 편차 원리의 비용 함수는 $a$에서 $a'$로 연결되는 캐머론-마틴 경로의 집합인 ${\cal K}^{a,a'}$에 속하는 $h$에 대해 $\|h\|_{\cal H}^2/2$로 주어진다.
• 증명은 브라운 운동의 군형 경로에 대한 임의의 확률적 연속성과 수기타 정리를 통한 와타나베 분포의 표현에 기반한다.
• 대규모 편차 확률의 상한은 컴acts와 尾부로의 분해를 통해 유도되며, 尾부는 지수 모멘트와 소볼레프 노름을 이용해 제어된다.
• 하한은 군형 경로 공간 내 컴팩트 집합을 이용한 비용 함수의 근사화를 통해 확립된다.
• 결과는 고정된 확산 과정의 대규모 편차 행동이 캐머론-마틴 공간 내 최소 에너지 경로에 의해 지배됨을 확인한다.